線形変換の表現行列

サイトのTOP→理系インデックス
固有値問題のTOP→固有値問題インデックス





注意

以下、K= または であるとする。

また、Kの元を成分とする行列を 『 K 行列 』 と呼ぶことにする。

定義 ( 表現行列 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

W を K 上の m 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

T={ w、・・・、w } を W の基底とする。

f:V→W を線形写像とする。

いま、各 f(v)は w、・・・、w の1次結合で表される。

そこで、次のようにおく。



ここで、A=(aij) とおく。

つまり、A は m×n 行列である。

このとき、A を 『 f の ( S と T に関する ) 表現行列 』 という。

定義の式を実際に書き並べると、



一方、表現行列は、



『 表現行列の成分 』 と 『 1次結合の成分 』 が転置の関係になっていることに注意。

注意

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

f:V→V を線形変換とする。

A を、f の ( S と S に関する ) 表現行列とする。

このとき、A を 『 f の ( S に関する ) 表現行列 』 という。

つまり、これは単に名称を簡略化させただけである。

S1 ( 表現行列に対する同値条件 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

W を K 上の m 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

T={ w、・・・、w } を W の基底とする。

f:V→W を線形写像とする。

A を m×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は、f の ( S と T に関する ) 表現行列である。

(2) (f(v)、・・・、f(v))=(w、・・・、w)A

証明

明らかである。(※定義:表現行列)

S2

V を n 次元ベクトル空間とする。

A を n 次行列とする。

このとき、ある線形変換 φ:V→V が存在して、A はφの表現行列となる。

証明

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

φを次のように定義する。



明らかに、φは線形変換である。

また、A はφの表現行列である。

補足

上記の証明において、

「 φの値が e、・・・、e 以外で定まっていないのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、問題はない。

実際、証明中に書かれている式だけで、任意の v∈V に対してφの値が定められたことになる。

それを確認するために v∈V とおく。

いま、v=v+・・・+v と表せる。

よって、φ(v)=vφ(e)+・・・+vφ(e)である。

いま、φ(e)、・・・、φ(e)は定まっている。

よって、φ(v)の値は定まっている。

定義 ( 行列の相似 )

φ:V→V を線形変換とする。

(φ)={ X∈(n)|X はφの1つの表現行列 } と定義する。

A、B∈(φ)であるとする。

このとき、「 A と B は相似である 」 という。

1つの線形変換に注目していても、表現行列は複数考えられる。

表現行列の定義は、ベクトル空間の基底に依存することに注意しよう。

S3 ( 行列の相似に対する同値条件 )

A、B を n 次行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A と B は相似である。

(2) ある n 次正方行列 P が存在して、B=PAP−1 と表せる。

補足

(2)を行列の相似の定義として採用する書物も多い。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある基底 { e、・・・、e }、{ e’、・・・、e’}⊂V が存在して、次を満たす。(※S1)

(*1) (φ(e)、・・・、φ(e))=( e、・・・、e )A

(*2) (φ(e’)、・・・、φ(e’))=( e’、・・・、e’)B

いま、各 e は、e’、・・・、e’の1次結合で表せる。

つまり、次の形で表せる。



よって、



同様に、各 e’は、e、・・・、e の1次結合で表せる。

つまり、上と同様に、



(**1)を(*1)の左辺に代入すると、



(**2)を(*1)の右辺に代入すると、



以上により、(φ(e’)、・・・、φ(e’))P=(e’、・・・、e’)PA である。(★1)

一方、(**3)を(**2)に代入すると、(e、・・・、e)=(e、・・・、e)QP である。

いま、e、・・・、e は1次独立である。

よって、QP=I である。

よって、Q=P−1 である。

つまり、P は正則行列である。

そこで、(★1)の両辺に P−1 を掛ける。

すると、(φ(e’)、・・・、φ(e’))=(e’、・・・、e’)PAP−1 である。

よって、(*2)より、(e’、・・・、e’)B=(e’、・・・、e’)PAP−1 である。

いま、e’、・・・、e’は1次独立である。

よって、B=PAP−1である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

A はφ:V→V の1つの表現行列であるとしてよい。(※S2)

いま、ある基底 { e、・・・、e }⊂V が存在して、(φ(e)、・・・、φ(e))=(e、・・・、e)A となる。(★1)

(e’、・・・、e’)=(e、・・・、e)P−1 とおく。

いま、P−1 は正則である。

よって、e’、・・・、e’は1次独立である。

つまり、e’、・・・、e’は V の基底である。

いま、(e、・・・、e)=(e’、・・・、e’)P である。(★2)

(★2)を、(★1)の左辺に代入すると、



(★2)を、(★1)の右辺に代入すると、



以上により、(φ(e’)、・・・、φ(e’))=(e’、・・・、e’)PAP−1 である。

つまり、PAP−1 は { e’、・・・、e’} に関するφの表現行列である。