三角化定理

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C1 ( 補題 )

A を n 次 K 行列とする。

A は次の形で表せるとする。



このとき、次は(重複も含めて)一致する。

(*1) A の特性根全体

(*2) B の特性根全体と C の特性根全体を合わせたもの

補足

むろん、K= の場合は 『 特性根 』 を 『 固有値 』 に言い換えてよい。(※S7)

証明

明らかに、F(t)=F(t)・F(t)である。

よって、定理が成り立つ。

C2 ( 実行列に対する三角化定理 )

A を n 次実行列とする。

A は(重複も含めて) n 個の固有値λ、・・・、λ をもつとする。(★)

このとき、ある正則行列 P が存在して、



とくに、P として直交行列を採用できる。

補足

A が複素行列である場合は、仮定(★)は自動的に成り立つ。(※S7)

つまり、複素行列はつねに三角化可能である。

これについては後で改めて定理としてまとめる。

証明

n=1の場合、明らかに成り立つ。

n≧2 とする。

n−1次以下の場合について定理が成り立つとする。

A を n 次行列とする。

λ を A の固有値とする。

をλ に関する固有ベクトルとする。

いま、ある x、・・・、x が存在して、{ x、・・・、x } は の基底となる。

=(x、・・・、x)とおく。

いま、P は正則行列である。

また、



よって、



いま、A は(n−1)次行列である。

また、A と P−1AP の固有値は一致する。(※S4)

よって、A の固有値全体はλ、・・・、λ である。(※C1)

よって、次が成り立つ。(※帰納法の仮定)



ここで、次のようにおく。



すると、



とくに、x、・・・、x の正規直交基底となるように選べる。(※シュミットの正規直交化)

つまり、P は直交行列となるようにできる。(※B11)

すると、P も直交行列となる。

つまり、P は直交行列となるようにできる。

C3 ( 複素行列に対する三角化定理 )

A を n 次複素行列とする。

このとき、ある正則行列 U が存在して、



とくに、U としてユニタリ行列を採用できる。

証明

よく知られているように、複素行列は(複素数の範囲で) n 個の固有値をもつ。

よって、A は三角化可能である。(※C2と同様に議論すればよい)

とくに、 の正規直交基底から U を構成できる。

すると、U はユニタリ行列である。(※B12)