固有値・対角化の要点

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参考

このページでは、行列の固有値・対角化について要点を述べる。

定義 ( 行列の固有値 )

A を n 次 K 行列とする。

λ∈K とする。

ある x∈K ( ただし x≠0 ) が存在して、Ax=λx であるとする。

このとき、λを 『 A の固有値 』 という。

また、x を 『 λに属する固有ベクトル 』 という。

定義 ( 線形変換の固有値 )

φ:V→V を線形変換とする。

λ∈K とする。

ある v∈V ( ただし v≠0 ) が存在して、f(v)=λv であるとする。

このとき、λを 『 φの固有値 』 という。

また、v を 『 λに属する固有ベクトル 』 という。

定義 ( 行列の固有空間 )

A を n 次 K 行列とする。

λを A の固有値とする。

W(λ)={ x∈K|Ax=λx } と定義する。

このとき、W(λ)を 『 λに属する A の固有空間 』 という。

定義 ( 線形変換の固有空間 )

φ:V→V を線形変換とする。

λをφの固有値とする。

W(λ)={ v∈V|φ(v)=λv } と定義する。

このとき、W(λ)を 『 λに属するφの固有空間 』 という。

定義 ( 幾何的重複度 )

λの固有空間の次元を 『 λの幾何的重複度 』 という。

つまり、λの幾何的重複度とは dimW(λ) である。

定義 ( 行列の固有多項式 )

A を n 次 K 行列とする。

(x)=det(xI−A)と定義する。

このとき、F(x)を 『 A の固有多項式(特性多項式) 』 という。

また、F(x)=0 を 『 A の固有方程式(特性方程式) 』 という。

固有多項式の根を 『 特性根 』 という。

後で改めて述べるが、次のことが言える。

(*1) 複素行列の特性根は固有値である。

(*2) 実行列の特性根は固有値であるとは限らない。

(x)=det(A−xI)と定義する書物もある。

むろん、どちらで定義しても本質的に議論は同じである。

参考 ( 根と解は同じ意味 )

F(x)を多項式としよう。

ある a が存在して、F(a)=0 となるとする。

このとき、a を 『 F(x)の根 』 という。

一方、方程式 F(x)=0 について考えよう。

ある a が存在して、F(a)=0 となるとする。

このとき、a を 『 F(x)=0 の解 』 という。

つまり、『 多項式の根 』 と 『 方程式の解 』 は同じ意味である。

『 根 』 と 『 解 』 を区別していない本もある。

S4

φ:V→V を線形変換とする。

A と B は相似であるとする。

このとき、A と B の固有多項式は一致する。

証明

いま、ある正則行列 P が存在して、B=P−1AP と表せる。(※S3)

また、xI−P−1AP=xP−1P−P−1AP=P−1(xI−A)P である。

よって、F(x)=det(xI−B)=det(xI−P−1AP)=det(P−1(xI−A)P)である。

また、det(P−1(xI−A)P)=det(P−1)・det(xI−A)・detP である。

また、det(P−1)=(detP)−1 である。

よって、F(x)=det(xI−A)である。

つまり、F(x)=F(x)である。

(★)に関する補足

よく知られているように、det(AB)=detA・detB である。

よって、det(AA−1)=detA・det(A−1)である。

一方、det(AA−1)=detI=1である。

よって、det(A−1)=(detA)−1 である。

定義 ( A によって定まる線形変換 )

: K→K を T(x)=Ax で定義する。

このとき、T を 『 A によって定まる線形変換 』 という。

を A と表すことも多い。

つまり、A : K→K である。

S5

A を n 次正方行列とする。

A : K→K を A によって定まる線形変換とする。

このとき、行列 A は、線形変換 A の ( 自然な基底に関する ) 表現行列である。

証明

{ e、・・・、e } を K の自然基底とする。

つまり、



いま、



つまり、A は、線形変換 A の ( 自然な基底に関する ) 表現行列である。

定義 ( 線形変換の固有多項式 )

φ:V→V を線形変換とする。

A をφの表現行列とする。

このとき、A の固有多項式を 『 φの固有多項式 』 という。

むろん、基底の取り方によって、φの表現行列として異なるものが存在する。

ただし、異なる基底に関する表現行列の固有多項式は一致する。(※S3)

よって、今回の定義が成り立つ。

参考

以下、主に行列について書く。

ただし、同様のことが線形変換についても成り立つ。

S6

固有空間は部分空間である。

証明

明らかに、0∈W(λ)である。

x、y∈W(λ)とおく。

いま、Ax=λx、Ay=λy である。

よって、次が成り立つ。

(*1) A(x+y)=Ax+Ay=λx+λy=λ(x+y)

(*2) A(kx)=kAx=kλx=λ(kx)

つまり、x+y∈W(λ)、kx∈W(λ)である。

以上により、W(λ)は V の部分空間である。

S7

A を n 次 K 行列とする。

α∈K とする。

このとき、次は同値である。

(1) α は A の固有値である。

(2) F(α)=0 である。

証明

次は同値である。

(*1) αは A の固有値である。

(*2) ある x∈K ( x≠0 ) が存在して、Ax=αx となる。

(*3) ある x∈K ( x≠0 ) が存在して、(αI−A)x=0 となる。

(*4) 連立1次方程式(αI−A)x=0 は 0 でない解をもつ。

(*5) det(αI−A)=0

(*6) F(α)=0

(*4)⇔(*5)についての補足

よく知られているように、「 Bx=0 が 0 のみを解としてもつ 」 ⇔ 「 B は正則 」 である。(※線形代数)

また、「 B は正則 」 ⇔ 「 detB≠0 」 である。

よって、「 Bx=0 が 0 以外の解をもつ 」 ⇔ 「 detB=0 」 である。

S8 ( 固有多項式の係数 )

A を n 次 K 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F(x)の次数は n である。

(2) F(x)の x の係数は1である。

(3) F(x)の xn−1 の係数は −trA である。

補足

つまり、F(x)=x−trA・xn−1+・・・ と表せる。

(1)〜(4)の証明

省略する。

S9 ( 代数学の基本定理 )

F(x)を、複素係数の n 次多項式とする。

c を x の係数とする。

このとき、あるα、・・・、α が一意に存在して、次の形で表せる。

(*) F(x)=c(x−α)・・・(x−α

補足

つまり、複素係数多項式はつねに1次式と定数の積に分解される。

つまり、n 次多項式は複素係数の範囲で重複を含めてつねに n 個の根をもつ。

これは高校数学でも経験的によく知られているであろう。

例えば、x+x+1は実数の範囲では根をもたない。

しかし、複素数の範囲では2つの根をもつ。

補足

ただし、α、・・・、α は重複を含む可能性がある。

例えば、x は、x=(x−0)・・・(x−0)と分解される。

証明

省略する。

これの厳密な証明は長いので、線形代数の書物でも省略されることが多い。

S10 ( 複素行列の固有多項式は固有値を根としてもつ )

A を n 次複素行列とする。

(x) を A の固有多項式とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F(x)=(x−λ)・・・(x−λ)と表せる。

(2) λ、・・・、λ は A の固有値である。

補足

つまり、n次複素行列は(重複を含めて) n 個の固有値をもつ。

補足

A が実行列の場合、(2)は成り立たない。(※定義:固有値)

(1)証明

明らかである。(※S8、S9)

(2)の証明

(1)より、明らかである。(※S7)

定義 ( 代数的重複度 )

A を n 次複素行列とする。

(x)を A の固有多項式とする。

いま、F(x)=(x−λ)・・・(x−λ)と表せる。(※S10)

また、λ、・・・、λ は A の固有値である。

ただし、λ、・・・、λ は重複している可能性がある。(※S9の補足)

そこで、この中から相異なるものを取り出してμ、・・・、μ とする。

つまり、{ μ、・・・、μ }={ λ、・・・、λ } である。

いま、F(x)=(x−μ・・・(x−μ と表せる。

この m を 『 λ の代数的重複度 』 という。

むろん、m+・・・+m=n である。

定義 ( 直和分解 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、W を V の部分空間とする。

任意の v∈V に対し、ある w∈W、w∈W が 「 一意 」 に存在して、v=w+w となるとする。

このとき、V=W□W と表す。

また、V を 『 W と W の直和 』 という。

また、W を 『 W の補空間 』 という。

ちなみに、表示が一意であるとは限らない場合は、V=W+W と表す。

定義 ( 対角行列 )

A=(aij)を n 次行列とする。

対角線上に並ぶ成分 a11、・・・、ann を 『 行列 A の対角成分 』 という。

対角成分以外の成分が全て 0 になっている行列を 『 対角行列 』 という。

対角成分が a11、・・・、ann である対角行列を diag(a11、・・・、ann)と表す。

定義 ( 対角化可能 )

A を n 次 K 行列とする。

ある正則行列 P が存在して、P−1AP が対角行列となるとする。

このとき、「 A は対角化可能である 」 という。

対角行列 D=(dij) を D=diag(d11、・・・、dnn)と表す。

定義 ( 線形変換の対角化可能性 )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

ある基底 S⊂V が存在して、f の ( Sに関する ) 表現行列は対角行列であるとする。

このとき、「 f は対角化可能である 」 という。

S11 ( 行列の対角化可能性に対する同値条件 )

A を n 次 K 行列とする。

A は ( 重複を含めて ) n 個の固有値をもつとする。(★)

λ、・・・、λ を、A の相異なる固有値とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は対角化可能である。

(2) 任意の i=1、・・・、r に対し、λ の代数的重複度と幾何的重複度は一致する。

(3) =W(λ)□・・・□W(λ

補足

A が複素行列である場合、条件(★)は自動的に満たされる。(※S10の補足)

証明

省略する。

S12 ( 線形変換の対角化可能性に対する同値条件 )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

f は ( 重複を含めて ) n 個の固有値をもつとする。(★)

λ、・・・、λ を、f の相異なる固有値とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は対角化可能である。

(2) V=W(λ)□・・・□W(λ

(3) ある基底に関して f の表現行列は diag(λ、・・・、λ、・・・、λ、・・・、λ)となる。

(4) 任意の i=1、・・・、r に対し、λ の代数的重複度と幾何的重複度は一致する。

補足

V が複素ベクトル空間である場合、条件(★)は自動的に満たされる。

証明

省略する。