内積、ノルム

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定義 ( 内積空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

任意の v、w∈V に対し、(v、w)∈K が対応しているとする。

次が成り立つとする。

(1) (v、v)≧0 ((v、v)=0 ⇔ v=0 )

(2) (v、w)=(w、v)

(3) (v+w、u)=(v、u)+(w、u)

(4) (cv、w)=c(v、w) ( c∈K )

このとき、(v、w)を 『 v と w の内積 』 という。

また、V を 『 K上の内積空間 』 という。

上の定義に書かれている*は複素共役を意味する。

K= の場合、複素内積空間という。

K= の場合、実内積空間という。

実内積空間の場合、(2)は (v、w)=(w、v)と表せる。

(・、・):V×V→K と見なせば、内積は K 値関数である。

定義 ( ノルム空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

任意の v∈V に対し、実数 || v || が対応しているとする。

次が成り立つとする。

(1) || v ||≧0 ( || v ||=0 ⇔ v=0 )

(2) || cv ||=|c|・|| v || ( c∈K )

(3) || v+w ||≦|| v ||+|| w ||

このとき、|| v || を 『 v のノルム 』 という。

また、V を 『 K上のノルム空間 』 という。

とくに、(3)を 『 3角不等式 』 という。

|| ・ ||:V→[0、∞)と見なせば、ノルムは非負実数値関数である。

A1

V を K 上の内積空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。(※定義:内積空間)

(2)の証明

明らかである。(※定義:内積空間)

(3)の証明

(1)、(2)より、明らかである。

A2 ( シュワルツの不等式 )

V を K 上の内積空間とする。

|| v ||=(v、v)1/2 と定義する。

このとき、次が成り立つ。

(*) |(v、w)|≦|| v ||・|| w || ( v、w∈V )

この(*)を 『 シュワルツの不等式 』 という。

補足

実は、上記の || ・ || はノルムの公理を満たす。

このことは後の定理で示される。

証明

(v、w)=0 の場合は明らかである。

(v、w)≠0 と仮定する。

(v、w)の偏角をθとすると、(v、w)=|(v、w)|eiθ である。(★1)

ここで、u=e−iθ v とおく。

いま、(u、w)=e−iθ(v、w)=e−iθ iθ|(v、w)|=|(v、w)|である。(★2)

つまり、(u、w)は実数である。

よって、(u、w)=(w、u)である。

一方、|| u ||=(u、u)=e−iθ(e−iθ(v、v)=(v、v)=|| v || である。

よって、|| u ||=|| v || である。(★3)

仮に、|(u、w)|≦|| u ||・|| w || が示されたとしよう。

いま、(★2)と(★3)より、|(v、w)|≦|| v ||・|| w || も示される。

よって、最初から (v、w) が実数であるとして、|(v、w)|≦|| v ||・|| w || を示せばよい。

そこで、(v、w) は実数であるとしよう。

x を実数とする。

いま、0≦|| xv+w ||=(xv+w、xv+w)=x|| v ||+2x(v、w)+|| w || である。

よって、判別式より、(v、w)≦|| v |||| w || である。

よって、|(v、w)|≦|| v ||・|| w || である。

(★1)について補足

複素数を偏角θで表せることは複素解析の基本である。

ただし、この考え方を使用するのはここだけなので、これを知らない人は気にしなくてもよい。

A3 ( 内積空間に自然にノルムが入る )

V を K 上の内積空間とする。

|| v ||=(v、v)1/2 と定義する。

このとき、||・|| はノルムである。

補足

つまり、内積からノルムを構成できる。

証明

次が成り立つことを示せばよい。

(*1) || v ||≧0 ( || v ||=0 ⇔ v=0 )

(*2) || cv ||=|c|・|| v || (c∈K)

(*3) || v+w ||≦|| v ||+|| w ||

まず、(*1)は明らかである。(※定義:内積空間)

また、(*2)も明らかである。(※定義:内積空間)

また、(*3)は次の式によって示される。(※シュワルツの不等式)