対称行列、直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列

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定義 ( 対称行列 )

A を n 次複素行列とする。

A=A であるとする。

このとき、A を 『 対称行列 』 という。

とくに、A が実行列ならば 『 実対称行列 』 という。

定義 ( 直交行列 )

A を n 次実行列とする。

AA=I であるとする。

このとき、A を 『 直交行列 』 という。

むろん、直交行列は正則行列である。

定義 ( エルミート行列 )

A を n 次複素行列とする。

=A であるとする。

このとき、A を 『 エルミート行列 』 という。

むろん、A は随伴行列を意味する。

定義 ( ユニタリ行列 )

U を n 次複素行列とする。

U=I であるとする。

このとき、U を 『 ユニタリ行列 』 という。

明らかに、実ユニタリ行列は直交行列である。

B10 ( 基本計算 )

A を n 次複素行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (Ax、y)=(x、Ay)

(2) A がユニタリ行列 ⇒ || Ax ||=|| x ||

(1)の証明

{ e、・・・、e } を の正規直交基底とする。

いま、y=y+・・・+y と表せる。

よって、(Ax、y)=(Ax、y+・・・+y)=y(Ax、e)+・・・+y(Ax、e)=y(Ax)である。

( y は y の複素共役の転置であることに注意 )

いま、A**=A である。

よって、(Ax、y)=y(Ax)=(yA)x=(y**)x=(Ay)x=(x、Ay)である。

(2)の証明

(1)より、|| Ax ||=(Ax、Ax)=(x、AAx)=(x、x)=|| x || である。

B11 ( 直交行列に対する同値条件 )

A を n 次実行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は直交行列である。

(2) A の列ベクトル全体は の正規直交基底である。

証明

A=(a、・・・、a)とおく。

いま、次は同値である。

(*1) A は直交行列である。

(*2) AA=I

(*3) =δij

(*4) (a、a)=δij

(*5) a、・・・、a の正規直交基底である。

B12 ( ユニタリ行列に対する同値条件 )

A を n 次複素行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A はユニタリ行列である。

(2) A の列ベクトル全体は の正規直交基底である。

証明

B11 と同様である。