正規変換のスペクトル分解

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定義 ( 正規変換 )

φ:V→V を線形変換とする。

φ をφの共役変換とする。

φ*φ=φ*φ であるとする。

このとき、φを 『 正規変換 』 という。

D13

次が成り立つ。

(1) エルミート変換は正規変換である。

(2) ユニタリ変換は正規変換である。

(1)の証明

φをエルミート変換とする。

いま、φ=φである。(※定義:エルミート変換)

よって、φ*φ=φ=φ*φ である。

(2)の証明

φをユニタリ変換とする。

いま、φ=φ−1 である。(※定義:ユニタリ変換)

よって、φ*φ=φ−1*φ=I=φ*φ−1=φ*φ である。

D14

φ:V→V を正規変換とする。

W をφの固有空間とする。

このとき、W はφ不変である。

証明

v∈W とおく。

いま、任意の w∈W に対し、(v、w)=0 である。

よって、(φ(v)、w)=(v、φ(w))=(v、λw)=λ(v、w)=0 である。

よって、φ(v)∈W である。

D15 ( 正規変換のスペクトル分解 )

φ:V→V を正規変換とする。

( つまり、V は複素ベクトル空間である )

このとき、次が成り立つ。

(1) λをφの固有値、v をその固有ベクトルとすると、φ(v)=λv である。

(2) 相異なる固有値に関する固有ベクトルは互いに直交する。

(3) φは一意にスペクトル分解できる。

(1)の証明

いま、



一方、



つまり、φ−λI は正規変換である。

よって、(*)より、|| (φ−λI)v ||=|| (φ−λI)v || である。

よって、上式の左辺が 0 であれば、右辺も 0 である。

(2)の証明

φ(v)=λ、φ(v)=λ (λ≠λ) とおく。

いま、λ(v、v)=(λ、v)=(φ(v)、v)=(v、φ(v))=(v、λ)=λ(v、v)である。

よって、(v、v)=0 である。

(3)の証明

対称変換やエルミート変換の場合と同様である。

D16 ( 正規変換に対する同値条件 )

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) φは正規変換である。

(2) φ(v)=λv ⇒ φ(v)=λ

(3) φはスペクトル分解可能である。

(1)⇒(2)の証明

既に示した。(※D15)

D15(1)はφの正規性のみで示されていることに注意。

(2)⇒(3)の証明

既に示した。(※D15)

D15(3)は、D14とD15(2)のみで示されていることに注意。

また、D14はφの正規性のみから示されている。

また、D15(2)はD15(1)のみから示されている。

(3)⇒(1)の証明

いま、φ=λ+・・・+λ と表せる。( λは複素数 )

また、φ=λ+・・・+λ である。(※B9)

よって、φφ=1≦k≦r|λ=φ*φである。

参考 ( まとめ )

既に示したように、エルミート変換の固有値は実数である。

つまり、エルミート変換のスペクトル分解の係数は実数である。

しかし、複素ベクトル空間において 「 固有値が実数である 」 という条件は少し特殊である。

では、この条件を外すとどうなるのだろうか?

つまり、φをスペクトル分解ができるとして、その係数として複素数も認めるとどうなるのか?

既に示したように、この条件は 「 φとφ の可換性 」 と同値である。

つまり、次の2つは同値である。

(*1) φを複素係数でスペクトル分解できる。

(*2) φとφ は可換である。

むろん、どちらを正規変換の定義として採用してもよい。

扱いやすいのは(*2)なので、これを定義(正規変換)として採用したのである。