正定値双1次形式とスペクトル分解

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定義 ( 正定値エルミート変換 )

φ:V→V をエルミート変換とする。

任意の x∈V に対し、(x、φ(x))≧0 であるとする。

このとき、「 φは正定値である 」 という。

とくに、x≠0 ⇔ (x、φ(x))>0 であるとき、「 φは正定値である 」 という。

D17 ( 正定値エルミート変換に対する同値条件〜その1 )

φ:V→V をエルミート変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) φは正定値である。

(2) φの固有値はすべて正である。

証明

λ、・・・、λ をφの相異なる固有値全体とする。

いま、(x、φ(x))=1≦i≦rλ(x、p(x))=1≦i≦rλ || p(x) || である。

よって、(1)⇔(2)である。

D18 ( 正定値エルミート変換に対する同値条件〜その2 )

φ:V→V をエルミート変換とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) φ*φはエルミート変換である。

また、次は同値である。

(2) φ*φは正定値である。

(3) φは正則である。

補足

同様のことが φ*φ に対しても成り立つ。

(1)の証明

いま、(x、φ*φ(x))=(φ(x)、φ(x)) である。

よって、φ*φはエルミート変換である。(※B15)

(2)⇔(3)の証明

(2)を仮定する。

(1)の証明より、φ(x)=0 ⇔ (x、φ*φ(x))=0 である。

よって、φ(x)=0 ⇔ x=0 である。

つまり、Kerφ={0} である。

よって、φは単射である。

つまり、φは全単射である。(※次元定理)

上記の議論を逆に辿れば、(3)⇒(2)が示される。

D19 ( 正則な正規変換に対する同値条件 )

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) φは正則な正規変換である。

(2) φは互いに可換な正定値エルミート変換とユニタリ変換の積として一意に表される。

証明

(1)を仮定する。

いま、φ=λ+・・・+λ と表せる。(※D15)

λ=|| λ || eiθ と表す。(※θはλの偏角である)

いま、φは正則である。

よって、λ≠0 である。

h=|| λ || p+・・・+|| λ || p となる。

u=eiθ+・・・+eiθ となる。

明らかに、h と u は可換である。

また、h は正定値エルミート変換である。(※B15)

また、u はユニタリ変換である。(※B16)

また、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

φ=h*u ( h は正定値エルミート、u はユニタリ変換 ) と表せるとする。

さらに、h と u は可換であるとする。

いま、φ*φ=(h*u)*(h*u)=u*h*h*u=u*u*h=h である。

また、φ*φ=(h*u)*(h*u)=h*u*u*h=h である。

よって、φ*φ=φ*φ である。

つまり、φは正規である。

次に一意性を示す。

φ=h*u=h*u と表せるとする。

いま、φ*φ=h=h である。(★1)

=μ+・・・+μ (μ>0)を h のスペクトル分解とする。

=ν+・・・+ν (ν>0)を h のスペクトル分解とする。

(★1)より、μ+・・・+μ=ν+・・・+ν である。(★2)

いま、φ*φ はエルミート変換である。(※D18)

つまり、(★2)は φ*φ のスペクトル分解である。

よって、r=s である。(※スペクトル分解の一意性)

また、番号を付け替えることで、p=q かつ μ=ν となる。(※スペクトル分解の一意性)

いま、μ、ν>0 である。

よって、μ=ν である。

よって、h=h かつ u=u である。