固有値問題が解ける⇔半単純

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定義 ( 固有値問題が解ける )

φ:V→V を線形変換とする。

V がφの固有空間の直和で表せるとする。

このとき、「 φの固有値問題が解ける 」 という。

上記の定義はやや唐突であろう。

そこで、この定義の背景を説明する。

λ、・・・、λ をφの相異なる固有値とする。

W(λ)、・・・、W(λ)を対応する固有空間とする。

よく知られているように、W(λ)、・・・、W(λ)は直和である。

つまり、W(λ)+・・・+W(λ)=W(λ)□・・・□W(λ)である。

むろん、W(λ)□・・・□W(λ)⊂V である。

では、V=W(λ)□・・・□W(λ)は成り立つだろうか?

これを 『 固有値問題 』 という。

もし、等号が成り立つのであれば、これは 「 固有値問題が解ける 」 を意味する。

つまり、V の任意の元が固有ベクトルの和に分解されるということである。

定義 ( 半単純、スペクトル分解 )

φ:V→V を線形変換とする。

ある線形変換 p:V→V (k=1、・・・、n)が存在して、次を満たすとする。

(*1) I=p+・・・+p

(*2) p*p=p ( i=1、・・・、r )

(*3) p*p=0 ( i≠j )

このとき、p は自動的に射影となる。(※D2)

この p ( k=1、・・・、r ) によって次の形で表せるとする。

(*) φ=λ+・・・+λ (λ∈K)

このとき、「φは半単純である 」 という。

また、各係数λ がφの固有値であるとき、(*)を 『φのスペクトル分解 』 という。

D4 ( 固有値問題が解ける⇔半単純 )

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) φの固有値問題が解ける。

(2) φは半単純である。

また、(2)においてφは自動的にスペクトル分解となる。

補足

つまり、「 固有値問題が解ける 」 ⇔ 「 スペクトル分解できる 」 と考えてよい。

証明

(1)を仮定する。

いま、V=W(λ)□・・・□W(λ)である。

よって、I=p+・・・+p と表せる。(※D1)

上式の両辺について、φとの合成を考えると、φ=φ*p+・・・+φ*p である。

φ*p は W(λ) 上でのφを意味する。

よって、φ*p=λ である。

よって、φ=λ+・・・+λ である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、φ=λ+・・・+λ と表せる。

また、φ*p=λ である。

つまり、φは p(V) 上でベクトルをスカラー倍する。

つまり、p(V)はφの固有空間である。

また、V=p(V)□・・・□p(V)である。(※D2)

参考 ( スペクトル分解とは 「 線形変換を比例拡大に分解すること 」 である )

上では 「 固有値問題が解ける⇔半単純 」 を示した。

改めて、内容を確認しよう。

固有値問題とは何であったか?

これは 「 ベクトルを固有ベクトルに分解する 」 を意味する。

固有ベクトルとは、線形変換で写すとスカラー倍となるベクトルである。

つまり、ベクトルを、比例拡大となる要素に分解したということである。

言い換えれば、線形変換を、比例拡大に分解したということである。

つまり、スペクトル分解とは 「 線形変換を比例拡大に分解すること 」 を意味する。

D5

φ、φ:V→V を線形変換とする。

φ、φ はスペクトル分解可能であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) φ*φ=φ*φ

(2) φ と φ は同一の射影によってスペクトル分解可能である。

証明

(1)を仮定する。

いま、φ と φ を次のようにスペクトル分解できる。

(*) φ=λ+・・・+λ

(*) φ=μ+・・・+μ

いま、次のように表せる。

(*) φ=λ*(q+・・・+q)+・・・+λ*(q+・・・+q

(*) φ=μ*(p+・・・+p)+・・・+μ*(p+・・・+p

また、p*q は定義(スペクトル分解)の条件(1)〜(3)を満たす。

実際、

(*) 1≦i≦r1≦j≦s*q=(1≦i≦r)*(1≦j≦s)=I*I=I

(*) (p*q=p*q*p*q=p*p*q*q=p*q

(*) (p*q)*(p*q)=p*p*q*q=0 (i、j)≠(m、n)

一方、(2)⇒(1)は明らかである。

D6

φ、φ:V→V を線形変換とする。

φ、φ はスペクトル分解可能であるとする。

φ*φ=φ*φ であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) φ+φ はスペクトル分解可能である。

(2) φ*φ はスペクトル分解可能である。

(1)と(2)の証明

いま、次のように表せる。(※D5)

(*) φ=λ+・・・+λ

(*) φ=μ+・・・+μ

いま、φ+φ=(λ+μ)p+・・・+(λ+μ)p である。

また、φ*φ=λμ+・・・+λμ である。

つまり、φ+φ と φ*φ はスペクトル分解可能である。