対称変換、直交変換、エルミート変換、ユニタリ変換

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定義 ( 対称変換 )

V を実内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

φ=φであるとする。

このとき、φを 『 対称変換 』 という。

定義 ( 直交変換 )

V を実内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

φ*φ=I であるとする。

このとき、φを 『 直交変換 』 という。

定義 ( エルミート変換 )

V を複素内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

φ=φであるとする。

このとき、φを 『 エルミート変換 』 という。

定義 ( ユニタリ変換 )

V を複素内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

φ*φ=I であるとする。

このとき、φを 『 ユニタリ変換 』 という。

B13 ( 対称変換に対する同値条件 )

V を実内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) φは対称変換である。

(2) 任意の v、w∈V に対し、(φ(v)、w)=(v、φ(w))である。

補足

つまり、対称変換とは 「 直交方向への比例拡大の合成 」 である。

例えば、φ: をφ(x)=(2x、3x)で定義する。

このとき、(φ(x)、y)=2x+3x=(x、φ(y))である。

補足

(2)を対称変換の定義として採用する書物も多い。

このサイトでは行列との対比を重視して、φ=φで直交変換を定義した。

証明

明らかである。(※定義:転置変換、対称変換)

B14 ( 直交変換に対する同値条件 )

V を実内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) φは直交変換である。

(2) 任意の v、w∈V に対し、(φ(v)、φ(w))=(v、w)である。

補足

つまり、直交変換とは内積を保存する線形変換である。

証明

明らかである。(※定義:転置変換、直交変換)

参考

V を実内積空間とする。

v、w∈V に対し、次のように定義する。



このθを 『 v と w の角度 』 という。

(*)の右辺は、つねに −1 と 1 の間になる。(※シュワルツの不等式)

だから、上記のように定義できる。

φ:V→V を線形変換とする。

θ(v、w)をベクトル v、w の交角とする。

φは 「 ベクトルの長さと交角を保存する回転 」 であるとしよう。

つまり、φは次を満たす。

(*1) 任意の v∈V に対し、|| φ(v) ||=|| v || である。

(*2) 任意の v、w∈V に対し、θ(φ(v)、φ(w))=θ(v、w)である。

いま、(*2)は cosθ(φ(v)、φ(w))=cosθ(v、w)を意味する。

よって、



よって、(*1)より、(φ(v)、φ(w))=(v、w)である。

つまり、φは直交変換である。

実は、(φ(v)、φ(w))=(v、w)を仮定するだけでφの線形性が導かれる。

つまり、内積を保存する写像は自動的に線形変換となる。

これを証明しよう。

いま、(φ(v)、φ(w))=(v、w)である。

よって、|| φ(λv+μw)−λφ(v)−μφ(w) ||=0 と計算できる。(※内積で展開して計算するだけ )

つまり、φ(λv+μw)−λφ(v)−μφ(w)=0 である。

つまり、φ(λv+μw)=λφ(v)+μφ(w) である。

B15 ( エルミート変換に対する同値条件 )

V を複素内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) φはエルミート変換である。

(2) 任意の v、w∈V に対し、(φ(v)、w)=(v、φ(w))である。

(3) 任意の v∈V に対し、(v、φ(v))は実数である。

(1)⇔(2)の証明

明らかである。

(2)⇔(3)の証明

(2)⇒(3)は明らかである。

(3)を仮定する。

v、w∈V とおく。

いま、(φ(v+w)、v+w)=(v+w、φ(v+w))である。

また、(φ(v)、v)=(v、φ(v))であり、(φ(w)、w)=(w、φ(w))である。

よって、(φ(v)、w)+(φ(w)、v)=(v、φ(w))+(w、φ(v))である。

式変形すると、(φ(v)、w)−(φ(v)、w)=(v、φ(w))−(v、φ(w)) である。(★1)

つまり、2Im(φ(v)、w)=2Im(v、φ(w))である。(★2)

さらに、v を iv に置き換えて同様の議論を行う。

すると、(★1)より、i(φ(v)、w)+i(φ(v)、w)=i(v、φ(w))+i(v、φ(w)) である。

つまり、2Re(φ(v)、w)=2Re(v、φ(w))である。(★3)

(★2)、(★3)より、(φ(v)、w)=(v、φ(w))である。

つまり、φはエルミート変換である。

B16 ( ユニタリ変換に対する同値条件 )

V を複素内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) φはユニタリ変換である。

(2) 任意の v∈V に対し、(φ(v)、φ(w))=(v、w)である。

(3) 任意の v∈V に対し、|| φ(v)||=|| v || である。

補足

つまり、ユニタリ変換は長さを保存する変換である。

(1)⇔(2)の証明

明らかである。

(1)⇔(2)の証明

B15(2)⇔(3)と同様である。