正規行列の対角化

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定義 ( 正規行列 )

A を n 次複素行列とする。

A=AA であるとする。

このとき、A を 『 正規行列 』 という。

C8 ( 正規行列の対角化 )

A を n 次複素行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は正規行列である。

(2) A はユニタリ行列によって対角化される。

証明

(1)を仮定する。

いま、あるユニタリ行列 U が存在して、次のように表せる。(※C3)



よって、



いま、A は正規行列である。

よって、BB=UAU=UAAU=(UAU)(UU)=BB である。

( つまり、B は正規行列である )

B=BB の(1、1)成分に注目すると、b1111=b1111+・・・+b1n1n である。

また、b1k1k=|b1k≧0 である。

よって、b12=0、・・・、b1n=0 である。

同様のことを(k、k)成分について考えると、bk、k+1=0、・・・、bkn=0 である。

つまり、B は対角行列である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、あるユニタリ行列 U が存在して、D=U−1AU は対角行列である。

また、U−1=U である。

よって、D=UAU である。

いま、D=UU は対角行列である。

よって、DD=DD である。

よって、(UAU)(UU)=(UU)(UAU)である。

いま、UU=I である。

よって、UAAU=UAU である。

よって、AA=AA である。

つまり、A は正規行列である。

C9

A を正則行列とする。

λを A の固有値とする。

x をλに付く固有ベクトルとする。

このとき、Ax=λx である。

補足

つまり、行列の固有値の複素共役は、随伴行列の固有値である。

証明

いま、AA=AA である。

よって、A−λI と (A−λI)=A−λI は可換である。

よって、次が成り立つ。(※A10)



よって、(A−λI)x=0 である。

よって、Ax=λx である。

C10 ( C5の一般化 )

正規行列の相異なる固有値に関する固有ベクトルは互いに直交する。

証明

A を正規行列とする。

Ax=λx ( x≠0 ) とする。

Ay=μy ( y≠0 ) とする。

λ≠μとする。

いま、Ay=μy である。(※C9)

よって、λ(x、y)=(λx、y)=(Ax、y)=(x、Ay)=(x、μy)=μ(x、y)である。

よって、(λ−μ)(x、y)=0 である。

よって、(x、y)=0 である。

C11 ( 正規行列に対する同値条件 )

A を n 次複素行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は正規行列である。

(2) A の固有ベクトル全体は の正規直交基底である。

証明

(1)を仮定する。

いま、あるユニタリ行列 U が存在して、D=UAU は対角行列となる。(※C8)

よって、AU=UD である。

よって、U の各列ベクトルは固有ベクトルである。

また、これは正規直交基底である。(※B12)

上記の議論を逆に辿れば、(2)⇒(1)が示される。