対称行列の対角化

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C4

エルミート行列の固有値は実数である。

補足

つまり、実対称行列の特性根は実数である。

これは、特性根が固有値であることを意味する。

つまり、実対称行列は n 個の固有値をもつ。

証明

A を実対称行列とする。

λを A の固有値とする。

λに関する固有ベクトルを x∈ とする。

つまり、Ax=λx ( x≠0 ) である。

いま、(Ax、x)=(λx、x)=λ(x、x)である。

一方、A=A である。

よって、(Ax、x)=(x、Ax)=(x、Ax)=(x、λx)=λ(x、x)である。

よって、λ(x、x)=λ(x、x)である。

いま、(x、x)>0 である。(※定義:内積空間)

よって、λ=λ である。

C5

エルミート行列の相異なる固有値に関する固有ベクトルは互いに直交する。

補足

つまり、実対称行列の相異なる固有値に関する固有ベクトルは互いに直交する。

証明

A を実対称行列とする。

λ、μを A の固有値とする。

x、y をλ、μに関する固有ベクトルとする。

つまり、Ax=λx ( x≠0 ) であり、Ay=μy ( y≠0 ) である。

いま、(Ax、y)=(λx、y)=λ(x、y)である。

一方、A=A である。

よって、(Ax、y)=(x、Ay)=(x、Ay)=(x、μy)=μ(x、y)である。

いま、μ=μ である。(※C4)

よって、λ(x、y)=μ(x、y)である。

よって、(λ−μ)(x、y)である。

λ≠μなので、(x、y)=0 である。

C6 ( 対称行列の対角化 )

A を n 次実行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は対称行列である。

(2) ある直交行列 P が存在して、P−1AP=diag(λ、・・・、λ)となる。

ただし、λ、・・・、λ は A の固有値である。

補足

つまり、実対称行列はつねに対角化可能である。

証明

(1)を仮定する。

複素数の範囲で、A は n 個の特性根λ、・・・、λ をもつ。

しかも、これらは実数である。(※C4)

よって、ある直交行列 P が存在して、次を満たす。(※C2)



いま、P=P−1 である。

また、A=A である。

よって、(P−1AP)=PAP)=AP=P−1AP である。

つまり、三角行列 P−1AP は対称行列である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、直交行列 P が存在して、P−1AP=diag(λ、・・・、λ)である。

よって、(P−1AP)=P−1AP である。

一方、P−1P である。

よって、(P−1AP)=PAP)=AP=(P−1AP である。

よって、P−1AP=(P−1AP である。

よって、A=A である。

つまり、A は対称行列である。