対称変換のスペクトル分解

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定義 ( φ不変 )

φ:V→V を線形変換とする。

W を V の部分空間とする。

φ(W)⊂W であるとする。

このとき、「 W はφ不変である 」 という。

つまり、φを W 上の線形変換と見なすことができる。

よって、φの W 上での固有値・固有ベクトルを議論する。

明らかに、次が成り立つ。

(*1) φの W 上の固有値は、φの V 上の固有値である。

(*2) φの W 上の固有ベクトルは、φの V 上の固有ベクトルである。

明らかに、φの固有空間はφ不変である。

実際、固有空間ではベクトルをスカラー倍するだけである。

D7 ( 補題 )

φ:V→V を線形変換とする。

W を V のφ不変部分空間とする。

このとき、φの W 上の固有多項式は、φの V 上の固有多項式を割り切る。

証明

{ e、・・・、e } を W の基底とする。

いま、er+1、・・・、e を追加して { e、・・・、e } が V の基底となるようにできる。

A をφの V 上の表現行列とする。

いま、φ(e)、・・・、φ(e)∈W である。

よって、φ(e)、・・・、φ(e)は、e、・・・、e の1次結合で表せる。

つまり、er+1、・・・、e の係数は 0 である。

よって、次の形で表せる。



とくに、B はφの W 上の { e、・・・、e } に関する表現行列である。

よって、

D8 ( 補題 )

φ:V→V を対称変換とする。

W を V のφ不変部分空間とする。

このとき、W はφ不変である。

証明

w∈W とおく。

いま、任意の v∈V に対し、(v、φ(w))=(φ(v)、w)である。

また、φ(v)∈W である。

よって、(v、φ(w))=0 である。

よって、φ(w)∈W である。

以上により、W はφ不変である。

D9 ( 対称変換のスペクトル分解 )

次が成り立つ。

(1) 対称変換の特性根はすべて実数である。( つまり特性根は固有値である )

(2) 対称変換の相異なる固有値に関する固有ベクトルは直交する。

(3) 対称変換は一意にスペクトル分解できる。

(1)の証明

φ:V→V を対称変換とする。

A をφの(正規直交基底に関する)表現行列とする。

いま、A は対称行列である。(※B19)

また、A は実行列である。(※対称変換は実ベクトル空間で定義されることに注意)

λ を det(A−tI)=0 の根とする。

( λ は複素数である可能性があることに注意 )

次の連立1次方程式を考える。



いま、A−λI は正則ではない。

よって、上の連立1次方程式は自明でない解をもつ。

つまり、ある解 (α、・・・、α)≠ (0、・・・、0) が存在して、



( α、・・・、α は複素数である可能性があることに注意 )

よって、



上は1×1行列(つまりスカラー)であるから転置をとっても変化しない。

よって、



いま、A=A であり、A は実行列である。

よって、上式の複素共役をとると、



(*1)、(*2)より、



つまり、(λ−λ)(αα+・・・+αα)=0 である。

いま、αα+・・・+αα=|α+・・・+|α≠0 である。

よって、λ−λ=0 である。

よって、λ は実数である。

(2)の証明

いま、(φ(v)、v)=(λ、v)=λ(v、v)である。

また、(v、φ(v))=(v、λ)=λ(v、v)である。

よって、λ(v、v)=λ(v、v)である。

よって、(λ−λ)(v、v)である。

よって、(v、v)=0 である。

(3)の証明

φ:V→V を対称変換とする。

λ、・・・、λ をφの相異なる固有値とする。

W(λ)、・・・、W(λ)を対応する固有空間とする。

=W(λ)□・・・□W(λ)とおく。

≠V と仮定する。(背理法)

いま、V≠{0}である。

つまり、dimV≧1である。

また、V□V=V である。

いま、V はφ不変である。(※D8)

よって、φは V 上の線形変換として固有値・固有ベクトルをもつ。

そこで、その固有値をλとし、対応する固有ベクトルを v (≠0) とする。

いま、φ(v)=λv ( v∈V ) である。

また、λは、λ、・・・、λ のいずれかに等しい。

また、V は W(λ)、・・・、W(λ)のいずれかに属する。

つまり、v∈W(λ)□・・・□W(λ)=V である。

いま、v∈V∩V である。

よって、v={0}である。

これは矛盾である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

いま、V=W(λ)□・・・□W(λ)と表せる。

:V→W(λ)を射影とする。

いま、別の射影 q、・・・、q が存在して、次のように表せるとする。

(*1) φ=λ+・・・+λ

(*2) I=q+・・・+q

いま、φ(q(v))=1≦k≦rλ(q(v))=λ(v)である。

よって、q(v)は λ に関する固有ベクトルである。

つまり、p=q である。

D10 ( 実対称行列のスペクトル分解 )

A を実対称行列とする。

A: を線形変換とする。

いま、A=λ+・・・+λ ( p は射影 ) と表せる。(※D9)

を p の表現行列とする。

このとき、A=λ+・・・+λ である。

これを 『 行列 A のスペクトル分解 』 という。

証明

明らかである。(※D9の証明)