随伴行列、随伴変換、転置変換

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定義 ( 随伴行列 )

A を n 次複素行列とする。

次のように定義する。



このとき、A を 『 A の随伴行列 』 という。

つまり、A は、A を転置して複素共役をとったものである。

定義 ( 1次形式 )

V を K 上のベクトル空間とする。

f:V→K を線形写像とする。

このとき、f を 『 1次形式 』 という。

定義 ( 双1次形式 )

V を K 上のベクトル空間とする。

f:V×V→K を、各変数に関して線形な写像とする。

このとき、f を 『 双1次形式 』 という。

つまり、次が成り立つ。

(*1) f(c+c、y)=cf(x、y)+cf(x、y)

(*2) f(x、c+c)=cf(x、y)+cf(x、y

B6 ( 1次形式は内積の形で表示できる )

f:V→K を1次形式とする。

このとき、ある y∈V が一意に存在して、f(x)=(x、y)となる。

補足

ただし、上式の右辺は内積である。

証明

f(V)=Kerf の場合は y=0 とすればよい。

f(V)≠Kerf の場合を考える。

いま、(Kerf)≠{0} である。

つまり、ある y∈(Kerf) が存在して、y≠0 となる。

|| y ||=1 と仮定しても一般性を失わない。

( || y ||≠1の場合は、y/|| y || とおけばよいからである )

いま、任意の x∈V に対し、



つまり、



ここで、y=f(y)・y とおく。

いま、y∈(Kerf) である。

よって、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

ある y、y が存在して、f(x)=(x、y)=(x、y)であるとする。

いま、(x、y−y)=0 である。

よって、y−y=0 である。(※A6)

B7 ( 双1次形式を定義する線形変換 )

f:V×V→K を双1次形式とする。

このとき、V 上の線形変換φが一意に存在して、f(x、y)=(x、φ(y))となる。

このφを 『 f を定義する線形変換 』 という。

証明

y∈V を固定する。

いま、f(x、y)は x に関する1次形式である。

よって、ある z∈V が一意に存在して、f(x、y)=(x、z)となる。(※B6)

以上により、y∈V に対し、z∈V が一意に定まった。

そこで、φ:V→V をφ(y)=z で定義する。

いま、f(x、y)=f(x、φ(y))である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、φが線形変換であることを示す。

いま、f(x、c+c)=cf(x、y)+cf(x、y)である。

よって、(x、φ(c+c))=c(x、φ(y))+c(x、φ(y))である。

よって、(x、φ(c+c)−cφ(y)−cφ(y))=0 である。

よって、φ(c+c)=cφ(y)+cφ(y)である。

つまり、φは線形変換である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、φの一意性を示す。

φ、φ に対し、(x、φ(y))=(x、φ(y))であるとする。

いま、(x、φ(y)−φ(y))=0 である。

よって、φ(y)=φ(y)である。

つまり、φ=φ である。

定義 ( 転置変換 )

V を実内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

f:V×V→ を f(x、y)=(φ(x)、y)で定義する。

明らかに、f は双1次形式である。

よって、ある線形変換 φが存在して、f(x、y)=(x、φ(y))となる。(※B7)

この φを 『 φの転置変換 』 という。

むろん、(φ(x)、y)=(x、φ(y))である。

定義 ( 随伴変換 )

V を複素内積空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

f(z、z)=(φ(z)、z)とおく。

ここで、z を固定する。

いま、f(z、z)は z に関して1次形式である。

よって、ある w∈V が一意に存在して、f(z、z)=(z、w)と表せる。(※B6)

つまり、任意の z∈V に対し、w∈V が一意に定まる。

そこで、φ:V→V をφ(z)=w で定義する。

このとき、φ を 『 φの共役変換 』 という。

むろん、(φ(z)、z)=(z、φ(z))である。

明らかに、φ は線形変換である。

B8 ( 転置の複素化=複素化の共役 )

V を実ベクトル空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、(φ)=(φ である。

証明

計算すると、

B9

次が成り立つ。

(1) (φ+φ=φ+φ

(2) (cφ)=cφ

(3) (φ*φ=φ*φ

(4) (φ=φ

(5) (φ−1=(φ−1

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

任意の z、z に対し、次が成り立つ。

(*) (z、(cφ)(z))=(cφ(z)、z)=c(φ(z)、z)=c(z、φ(z))=(z、cφ(z))

(3)の証明

任意の z、z に対し、次が成り立つ。

(*) (z、(φ*φ))(z))=(φ*φ(z)、z)=(φ(z)、φ(z))=(z、φ*φ(z))

(4)の証明

いま、任意の z、z∈V に対し、(φ(z)、z)=(z、φ(z))である。(★1)

また、任意の z、z∈V に対し、(φ(z)、z)=(z、φ**(z))である。

むろん、任意の z、z∈V に対し、(z、φ(z))=(φ**(z)、z)である。

むろん、任意の z、z∈V に対し、(z、φ(z))=(φ**(z)、z)である。(★2)

よって、(★1)、(★2)より、φ=φ** である。

(5)の証明

=φ−1(z)とおく。

いま、z=φ(z)である。

よって、次が成り立つ。

(*1) (z、(φ−1(z))=(φ(z)、(φ−1(z))=(φ−1*φ(z)、z)=(z、z

一方、次が成り立つ。

(*2) (z、(φ−1(z))=(φ(z)、(φ−1(z))=(z、φ*(φ−1(z))=(z、z

よって、(*1)と(*2)より、(z、(φ−1(z))=(z、(φ−1(z))である。