直交分解

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定義 ( 直交補空間 )

V を内積空間とする。

W を V の部分空間とする。

W と直交するベクトル全体を W と表す。

このとき、W を 『 W の直交補空間 』 という。

定義 ( 直交分解 )

V を内積空間とする。

、・・・、V を V の部分空間とする。

、・・・、V は互いに直交しているとする。

明らかに、V=V□・・・□V となる。(★)

これを 『 V の直交分解 』 という。

(★)についての証明

k∈{1、・・・、r}とおく。

v∈V∩(W+・・・+Wk−1+Wk+1+・・・+W)とおく。

いま、v=v=v+・・・+vk−1+vk+1+・・・+v (v∈V)と表せる。

よって、(v、v)=(v、v+・・・+vk−1+vk+1+・・・+v)=0 である。

よって、v=0 である。

よって、V=V□・・・□V である。(※A8)

A9 ( 直交分解定理〜有限次元 )

V を n 次元内積空間とする。

W を V の部分空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) W は V の部分空間である。

(2) W を r 次元とすると、W は(n−r)次元である。

(3) V=W□W

補足

つまり、有限次元内積空間を、部分空間と直交補空間によって分解できる。

では、無限次元内積空間ではどうなるであろうか?

実は、ヒルベルト空間において閉部分空間を考えると、同様の定理が成り立つ。

これは関数解析で登場する。

(1)の証明

、v∈W とおく。

w∈W とおく。

いま、(c+c、w)=c(v、w)+c(v、w)=0 である。

よって、c+c∈W である。

以上により、W は V の部分空間である。

(2)の証明

、・・・、v を W の基底とする。

いま、ある vr+1、・・・、v∈V が存在して、v、・・・、v が V の基底となる。(※線形代数)

また、ある正規直交基底 e、・・・、e∈V が存在して、次を満たす。(※シュミットの正規直交化)

(*) span(e、・・・、e)=span(v、・・・、v

また、e、・・・、e は W の正規直交基底となるようにできる。(※シュミットの正規直交化)

よって、er+1、・・・、e は W に属する。

よって、dimW≧n−r である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v∈W とおく。

いま、v=c+・・・+c と表せる。

また、v は e、・・・、e∈W と直交する。

つまり、任意の k∈{1、・・・、r}に対して次が成り立つ。

(*) 0=(e、c+・・・+c)=c(e、e)+・・・+c(e、e)=c(e、e)=c

よって、v=cr+1r+1+・・・+c である。

よって、dimW=n−r である。

(3)の証明

明らかである。

線形代数でよく知られているように、基底による表示は一意であることに注意。

つまり、v=(c+・・・+c)+(cr+1r+1+・・・+c)と見なせばよい。