span、シュミットの正規直交化(固有値問題ver)

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定義 ( 生成〜その1 )

A={ v、・・・、v } を V の有限集合とする。

次のように定義する。



明らかに、span(A) は V の部分空間である。

このとき、span(A) を 『 A によって生成される部分空間 』 という。

定義 ( 生成〜その2 )

V を K 上のベクトル空間とする。

A を V の部分集合とする。

次のように定義する。



明らかに、span(A) は V の部分空間である。

このとき、span(A)を 『 A によって生成される部分空間 』 という。

A が有限集合であれば、定義(生成〜その2)は定義(生成〜その1)に一致する。

定義 ( 直交〜その1 )

V を K 上の内積空間とする。

v、w∈V とおく。

(v、w)=0 であるとする。

このとき、「 v と w は直交する 」 という。

また、v⊥w と表す。

定義 ( 直交〜その2 )

V を K 上の内積空間とする。

A を V の部分集合とする。

v∈V とおく。

任意の w∈A に対し、v⊥w であるとする。

このとき、「 v と A は直交する 」 という。

また、v⊥A と表す。

定義 ( 正規直交系、正規直交基底 )

V を K 上の内積空間とする。

A を V の部分集合とする。

任意の v、w∈A は直交するとする。

このとき、A を 『 V の直交系 』 という。

とくに、A の任意の元が単位ベクトルであるとき、『 正規直交系 』 という。

さらに、A が V の基底であるとき、『 正規直交基底 』 という。

単位ベクトルとは、|| v ||=1を満たすベクトルのことである。

A4 ( 直交系は1次独立である )

V を K 上の内積空間とする。

A={ v、・・・、v } を V の直交系とする。

任意の k=1、・・・、r に対し、(v、v)≠0 であるとする。

このとき、A は1次独立である。

証明

+・・・+c=0 とおく。

ここで、上式の両辺に v を掛けると、c(v、v)=0 である。

よって、c=0 である。

同様に、c=0、・・・、c=0 である。

よって、{ v、・・・、v } は1次独立である。

A5 ( シュミットの正規直交化 )

V を K 上の内積空間とする。

、・・・、v∈V を1次独立な元とする。

このとき、正規直交系 e、・・・、e が存在して次を満たす。

(*) 任意の 1≦i≦r に対して span(e、・・・、e)=span(v、・・・、v)である。

補足

つまり、V が有限次元ならば正規直交基底が存在する。

証明

(≠0)∈V とおく。

=v/|| v || とおく。

いま、|| e ||=1 である。

つまり、r=1の場合について、定理が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

i=r−1 の場合について定理が成り立つとする。

、・・・、v は1次独立であるとする。(★1)

いま、ある正規直交系 e、・・・、er−1 が存在して、次を満たす。

(*) 任意の k=1、・・・、r−1 に対し、e∈span(v、・・・、v) である。

ここで、e=v1≦k≦r−1(v、e)e とおく。(★2)

=0 であると仮定する。(背理法)

いま、v は e、・・・、er−1 の1次結合である。

よって、v∈span(v、・・・、vr−1)である。

つまり、v、・・・、v は1次従属である。

これは(★1)に矛盾する。

よって、e≠0 である。(★3)

さて、(*)、(★2)より、e∈span(v、・・・、v)である。

また、i=1、・・・、r−1 に対し、



いま、(★3)より、|| e ||≠0 である。

そこで、e=e/|| e || とおく。

いま、e∈span(v、・・・、v)である。

また、e、・・・、e は正規直交系である。

よって、span(e、・・・、e)=span(v、・・・、v)である。(※A4)

A6 ( 非退化性 )

V を K 上の有限次元内積空間とする。

v∈V とおく。

任意の w∈V に対し、(v、w)=0 であるとする。

このとき、v=0 である。

これを 『(内積の)非退化性 』 という。

補足

この定理によって次のことが分かる。

(*) 任意の w∈V に対して(a、w)=(b、w)ならば、a=b である。

実際、(a、w)=(b、w)を変形すれば、(a−b、w)=0 であるから、a−b=0 である。

証明

E={ e、・・・、e } を V の正規直交基底とする。(※シュミットの正規直交化)

いま、v=a+・・・+a と表せる。

よって、(v、e)=a である。

よって、a=0 である。

よって、v=0 である。