直和分解

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復習 ( 直和分解 )

V をベクトル空間とする。

、V を V の部分空間とする。

任意の v∈V に対し、ある v∈V、v∈V が一意に存在して、v=v+v となるとする。

このとき、V=V□V と表す。

また、V を 『 V と V 直和 』 という。

また、V を 『 V の補空間 』 という。

A7 ( 直和分解に対する同値条件〜その1 )

V をベクトル空間とする。

、V を V の部分空間とする。

V=V+V であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) V=V□V

(2) V∩V={0}

証明

(1)を仮定する。

v∈V∩V とおく。

いま、v=v(∈V)+0(∈V)=0(∈V)+v(∈V)と見なせる。

仮定より、この表示は一意である。

つまり、v=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

v∈V+V とおく。

v=x+y=x+y (x、x∈V、y、y∈V)とおく。

式変形すると、x−x=y−y である。

いま、x−x∈V、y−y∈V である。

つまり、x−x=y−y∈V∩V である。

よって、x=x であり、y=y である。

A8 ( 直和分解に対する同値条件〜その2 )

V をベクトル空間とする。

、・・・、V を V の部分空間とする。

V=V+・・・+V であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) V=V□・・・□V

(2) V∩(V+・・・+Vk−1+Vk+1+・・・+V)={0} (k=1、・・・、r)

証明

(1)を仮定する。

v∈V∩(V+・・・+Vk−1+Vk+1+・・・+V)とおく。

いま、v=v+・・・+vk−1+vk+1+・・・+v と表せる。

これを v+0=0+(v+・・・+vk−1+vk+1+・・・+v)と見なす。

いま、上式の左辺について v∈V であり、右辺について 0∈V である。

よって、v=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

v∈V+・・・+V とおく。

v=x+・・・+x=y+・・・+y ( x、y∈V ) とおく。

式変形すると、(x−y)=(y−x)+・・・+(yk−1−xk−1)+(yk+1−xk+1)+・・・+(y−x)である。

上式の左辺は V の元であり、右辺は V+・・・+Vk−1+Vk+1+・・・+V の元である。

よって、x=y である。