応用幾何インデックス

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曲率

□ 平面曲線、曲率、曲率円、対数螺旋
□ 空間曲線、曲率、常螺旋

□ 第1基本量、第1基本形式による面積分の計算
□ ガウス曲率>0⇒凸であり、ガウス曲率<0⇒鞍である
□ 法曲率 と umblic point

□ 第1基本行列は歪みの総量を表し、第2基本行列は凹凸を表す
□ ワインガルテン行列によってガウス曲率を直観的に理解できる

□ ガウス曲率の計算、平面、円柱面、楕円面、トーラス

□ 「ガウス曲率=一定」の回転面、円柱面、円錐面、擬球面
□ 回転面で極小面となるものは、カテノイド(懸垂面)のみである

□ 線織面、可展面
□ 包絡線、縮閉線、伸開線

回転の数理

□ 指数関数行列の対称性、直交性、エルミート性、ユニタリ性
□ 1パラメータ部分群(リー代数の幾何的な意味)

★ SO(3)の生成子(オイラー角)
★ SU(2)の生成子(パウリ行列)

□ so(3)とsu(2)はリー代数として同じ構造をもつ

□ 「パウリ行列、SO(3)、SU(2)」の関係
□ 「パウリ行列、四元数」の関係
□ 四元数の相似変換=SO(3)表現=ロドリゲスの回転公式

□ 「四元数代数+グラスマン代数」→クリフォード代数

□ カメラ画像の数理
□ スピノル

□ SO(3)→直積群→正多面体群
□ 行列群、回転群
□ 不連続群、O(2)の離散部分群、平面結晶群

初等テンソル

★ 数学流テンソル→物理流テンソル
□ 物理流テンソル→テンソルの商法則
□ 数学流テンソル→指標の上下
□ 直線座標テンソル場
□ 曲線座標テンソル場→接続係数

□ 具体例(双対基底)
□ 具体例(計量と線素によって長さを求める)
□ 共変性と反変性(視覚的な理解)

微分形式

★ ストークスの定理[微分形式ver]
★ ベクトル場は風であり、座標関数は風力計である
□ 微分形式への扉〜全微分の曖昧性を解決する

□ 線積分の相互関係+微分形式の入口
□ 微分形式と外積
□ テンソル積〜剰余類による構成
□ 外積〜剰余類による構成

様々な幾何学

★ 多様体の具体例
□ モース理論

□ ルート系
□ ウエイトと既約表現

□ リーマン球面→ローレンツ群→シンプレティック群→カルタン分解・岩澤分解
□ リーマン球面→射影空間→多様体

□ 位相群の基礎

□ クラインの幾何
□ 球面幾何
□ 双曲幾何

位相幾何

□ ホモロジ群の計算〜グラフver
□ ホモロジ群の計算〜単体・複体ver
□ ホモトピと基本群
□ 被覆空間