複素数の導入

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参考

複素数の導入には、主に次の3通りの方法がある。

(1) 高校数学による導入

(2) ハミルトンによる導入

(3) イデアル論による導入

まず、高校における複素数の定義を復習しよう。

参考 ( 高校数学による導入 )

2乗することで−1になる数を考え、これを i と表す。

つまり、i =−1 とする。

i を 『 虚数 』 という。

2つの実数 a、b を用いて、a+ib の形で表したものを 『 複素数 』 という。

このとき、次のようなルールを設定する。

(*1) 計算の途中で i が出てきたら、これを−1に置き換える。

(*2) それ以外では、i は普通の文字と同じように扱う。

つまり、複素数の四則演算は次のように計算できる。



a>0 に対して次のように定義する。



とくに、a=1 とすると、

上の定義は概ね正しい。しかし、いくつか問題もある。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

問題点1

上の定義には i=−1と書かれている。

つまり、i・i=−1というわけだ。

しかし、i は実数ではないはずだ。

一方、掛け算は実数に対して定義された演算である。

実数でない未知の数に対して、実数の掛け算を無断で使用していることになる。

このように、やや論理の飛躍がみられる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

問題点2

次の矛盾はどう説明するのか?



このように、計算方法に少し不明瞭な部分がある。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

そこで、少なくとも問題点1を回避する方法として、次の 『 ハミルトンの導入 』 がある。

参考 ( ハミルトンによる導入 )

2つの実数の組 (a、b) に対し、次の演算を導入する。



このとき、(a、b) を 『 複素数 』 という。

とくに、(1、0) と (0、1) については、次のように表す。



また、k(1、0) と k(0、1)を次のように表す。

このサイトではハミルトンによる導入法を採用している。

ハミルトンによる導入は改めて後のページで扱う。

参考 ( イデアル論による導入 )

イデアル論による定義は省略する。

これを理解するには代数学の知識が必要だからである。

イデアル論を用いると、複素数を簡潔に定義することができる。

参考(高校数学による導入)が正当なものであることは、実はイデアル論によって保障されている。

次に、複素数の幾何学的な意味を与える。

参考 (−1を掛けることの幾何学的な意味 )

原点 O から正の向きを与えられた直線を考える。



この直線を180度回転させたものを考える。



座標 a を反転させてできたものを −a と表すことにする。

つまり、『 −1 を掛けるという演算 』 を 『 原点 O を中心とした180度回転 』 と見なす。

このとき、−1に−1を掛けると、これは360度の回転を意味する。

よく中学生から出る質問で、

「 (−1)×(−1)=1 が成り立つのはなぜですか? 」

・・・というものがある。

これに対しては上記のような説明が無難であると思われる。

もっと深く知りたい場合には代数学を学ぶとよい。

代数学の世界では 「 −1を掛けること 」 は 『 逆元 』 として説明される。

参考 ( i を掛けることの幾何学的な意味 )

いま、上の説明では 『 −1 を掛けるという演算 』 を 『 原点 O を中心とした180度回転 』 と見なした。

では、180度ではなく、90度回転させるとどうなるのだろう?

そこで、『 i を掛けるという演算 』 を 『 原点 O を中心とした90度回転 』 と見なす。



このとき、i を2回掛けると、これは180度の回転になる。

こうして、i=−1 が成り立つことが自然に理解できる。

高校などで初めて虚数 i に出会うと、これを異質なものと見なす学生が多い。

『 虚数 』 という名前のせいもあるかもしれない。

いかにも胡散臭い印象をもってしまう学生が多いのである。

これが意味もなく高校生の理解を遅らせることがある。

しかし、上記の説明によって、i が自然な概念であることが分かる。