コーシーの積分公式、グルサの公式

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注意

単純閉曲線 Γ の内部を Γint と表す。

つまり、Γint は閉曲線Γによって囲われた領域を意味する。

参考

次の用語はいずれも同じ意味である。

(1) C 級な曲線

(2) 連続微分可能な曲線

(3) 滑らかな曲線

多変数実数値関数の場合、C 級は偏微分可能性と導関数の連続性を意味する。

しかし、曲線は1変数なので、偏微分の意味が消えて、単に微分可能性と導関数の連続性を意味する。

「 滑らかな曲線 」 を 「 C級曲線 」 の意味が用いている参考書もある。

D10 ( コーシーの積分公式 )

f:D→ を正則関数とする。( D は領域であるとする )

Γを区分的に C 級な単純閉曲線とする。

Γ⊂D かつ Γint⊂D とする。

このとき、任意の点 z∈Γint に対し、次が成り立つ。

補足

つまり、円周Γ上での f の値が分かると、Γの内部における f の値も完全に分かる。

以下の証明では、1/(ζ−z)をζの関数と見たとき、点 z が正則でないことがポイントである。

証明

z∈Γint とおく。

いま、f(ζ)/(ζ−z)は Γint−{z}で正則である。(※B9)

Γint は開集合である。

よって、r>0 を十分小とすると、(z、r)⊂Γint となる。

いま、次が成り立つ。(※D3)



よって、



いま、∂S(z、r) は ζ(t)=z+reit (0≦t≦2π) と表せる。

よって、次が成り立つ。(※C10)



いま、f は連続である。

よって、あるδ>0 が存在して、|ζ−z|<δ⇒|f(ζ)−f(z)|<εとなる。

よって、r を十分小とすれば、任意の t∈[0、2π]に対し、|f(z+reit)−f(z)|<εとなる。

よって、



よって、



(*1)〜(*3)より、

参考 ( 一般化されたコーシーの積分公式 )

D を多重連結領域とする。

つまり、D は区分的に C 級な境界をもつ領域であるとする。

f を、 を含む領域で正則な関数とする。

このとき、次が成り立つ。

これは D10 の一般化である。

注意〜その1

閉曲線の像は有界閉集合である。

証明

A⊂ を集合とする。

ある定数 M>0 が存在して、任意の点 z∈A に対して|z|<M となるとする。

このとき、「 A は有界である 」 という。

また、閉集合とは、境界を含む集合である。

とくに、曲線の像はそれ自身が境界となるので閉集合である。

以上により、閉曲線の像は閉集合である。

注意〜その2

f:K→ を連続関数とする。( K は の有界閉集合であるとする )

このとき、|f(z)|は K 上で最大値・最小値をもつ。

証明

複素数値関数に最大値・最小値の概念はない。

ただし、ここで考えているのは f(z) ではなくて|f(z)|である。

つまり、|f(z)|は実数値関数である。

よく知られているように、有界閉集合上の連続関数は最大値・最小値をもつ。(※微分積分)

よって、|f|は K 上で最大値・最小値をもつ。

D11 ( コーシーの積分公式の逆 )

Γ を区分的に C 級な閉曲線とする。

φ:RanΓ→ を連続関数とする。

次のように定める。



このとき、F は正則関数である。

さらに、次が成り立つ。

補足

RanΓはΓの値域(像)を意味する。

証明

いま、Γ は 上の有界閉集合である。

また、φ は RanΓ上で連続である。

よって、φ は RanΓ上で最大値・最小値をもつ。(※注意〜その1、〜その2)

つまり、ある M>0 が存在して|φ(ζ)|≦M ( ζ∈RanΓ ) となる。(★)

α∈D とおく。

いま、ある r>0 が存在して、(α、r)⊂Γint となる。

h∈ ( ただし|h|<r/2 ) とおく。

いま、ζ∈RanΓに対し、|ζ−(α+h)|≧r/2 かつ|ζ−α|≧r である。

また、



よって、(★)より、次が成り立つ。(※C11(4))



よって、(*)より、



つまり、

D12 ( グルサの公式 : f(n)を f で表す )

Γ を区分的に C 級な閉曲線とする。

φ:RanΓ→ を連続関数とする。

次のように定める。



このとき、F は無限回微分可能である。

さらに、次が成り立つ。

補足

f を Γ と Γint 上で正則な関数とする。

コーシーの積分公式より、



よって、今回の定理を f に適用できる。

つまり、f は無限回微分可能であり、次が成り立つ。



最初からこの形を定理として述べている参考書も多い。

証明

D11の計算を繰り返すだけでよい。