複素数、複素平面

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定義 ( 複素数 )

2つの実数の組(a、b)が次の演算法則を満たすとする。



このとき、(a、b)を 『 複素数 』 という。

とくに、(1、0)と(0、1)を次のように表す。



また、k(1、0) と k(0、1)を次のように表す。

上記のような定義を 『 ハミルトンによる複素数の導入 』 と呼ぶことがある。

A1

(a、b)を複素数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

定義(複素数)より、

注意

上では a+bi と表したが、これを a+ib と表してよいことにする。

例えば、cosθi と表すと、cos(θ)i と cos(θi)の区別が付かなくなって不便だからである。

定義 ( 純虚数 )

(a、b)=a+ib を複素数とする。

a=0 のとき、つまり (0、b)=ib のとき、これを 『 純虚数 』 という。

b=0 のとき、つまり (a、0)=a(1、0)=a のとき、これは実数 a を意味すると考える。

つまり、(a、0)と実数 a を同一視する。

実数の演算をそのまま(a、0)に適用する。

このとき、

「 本当に実数の演算をそのまま(a、0)に適用してもよいのだろうか?」

・・・と疑問に思うかもしれない。

実際、定義(複素数)に書かれている演算法則は、実数の演算法則とは異なるように見える。

しかし、問題はない。

実際、次が成り立つ。(※定義(複素数)の(1)と(3))



これは(a、0)が実数と同じ法則に従って計算できることを意味している。

つまり、一番上で定義した複素数の計算法(1)〜(3)は、実数の計算を内包している。

A2

次が成り立つ。

証明

定義(複素数)の(3)、(2)より、

補足

さて、定義(複素数)では、和と積に関する演算だけ定義した。

次に、差と商を定義する。

定義 ( 差・商 )

α、βを複素数とする。

α=z+βを満たす複素数 z を z=α−βと表す。

α=zβを満たす複素数 z を z=α/βと表す。

A3

α、βを複素数とする。

α=a+ib、β=c+id とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

z=α/βとおく。

z=x+iy とおく。

いま、α=zβ=(x+iy)(c+id)=(xc−yd)+i(xd+yc)である。(※定義(複素数)の(3))

よって、a=xc−yd、b=xd+yc である。

これを解くと、

A4

α、βを複素数とする。

α=a+ib、β=c+id とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

ここまでの内容をまとめただけである。

補足

A4(1)〜(4)は全て最初の定義(複素数)に基づくものである。

それ以外の前提は必要としていないことに注目しよう。

一方、高校で教えられている複素数の計算も結果的にはA4と同一の結果をもたらす。

つまり、i を文字変数と見なして計算し、i が現れたらこれを i=−1で置き換えればよい。

例えば、高校の数学では(4)を次のように計算する。

定義 ( 実部、虚部 )

z=a+ib を複素数とする。

このとき、a を 『 z の実部 』 といい、b を 『 z の虚部 』 という。

実部と虚部をそれぞれ記号で次のように表す。

例えば、α=2+3i とすると、Re(α)=2、Im(α)=3である。

定義 ( 複素平面 )

(x、y)∈ に対し、複素数 z=x+iy∈ を対応させる。

明らかに、この対応によって は同一視できる。

そこで、平面 上の点(x、y)を x+iy と見なした平面を 『 複素平面 』 という。

複素平面としての x軸 を 『 実軸 』 といい、y軸を 『 虚軸 』 という。

参考 ( 同一視 )

もしかしたら、同一視という考えに戸惑う人がいるかもしれない。

しかし、とくに難しく考える必要はない。

世間的には、数学は特定の狭い対象だけを扱うイメージがあるように思える。

なので、本来は異なったものを同一と見なすという考えに戸惑うのかもしれない。

また、次のように考える人がいるかもしれない。

「 異なるものを同一視したら、後でおかしなことにならないのだろうか? 」

この疑問は正しい。

同一視するときは、それをしても問題がない範囲で議論する。

むろん、何も考えずに同一視をすれば議論はおかしなことになる。

定義 ( 絶対値 )

z=x+iy を複素数とする。

次のように定義する。



このとき、|z|を 『 z の絶対値 』 という。

定義 ( 極形式 )

z=x+iy を複素数とする。

の点(x、y)の極座標を(r、θ)とする。

このとき、次が成り立つ。



また、次のように表せる。



これを 『 z の極形式 』 という。

θを 『 z の偏角 』 といい、arg z と表す。

明らかに、複素数 z に対し、θは一意には定まらない。

なぜなら、cos(θ+2nπ)=cosθ、sin(θ+2nπ)=sinθ が成り立つからである。

( 言い換えれば、θは2nπの差を除いて一意に定まる )

そこで、−π≦θ<πを満たす偏角θを 『 z の偏角の主値 』 といい、Arg z と表す。

ところで、複素数は大小の比較ができないことに注意しておこう。

例えば、z=1+i、z=2+i の大小は比較できない。

ただし、その絶対値は比較できる。

実際、|1+i|=√2<√5=|2+i|である。

定義 ( 複素共役 )

z=x+iy を複素数とする。

次のように定義する。



このとき、 を 『 z の複素共役 』 という。

の代わりに z と表すこともある。

A5

z、z、z を複素数とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)〜(7)の証明は簡単である。

実際、これらは z=x+iy、z=x+iy を代入して地道に計算するだけで示される。

そこで、(1)の証明だけを書くことにする。

(1)の証明

=x+iy、z=x+iy とすると、

A6

=r(cosθ+isinθ)、z=r(cosθ+isinθ) とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、

参考 ( A6の幾何学的な意味 )

A6(1)より、次の(*1)(*2)は同じ意味をもつことが分かる。

(*1) z に z をかけること。

(*2) 複素数 z に対応する平面上の点をθ だけ回転させ、絶対値を|z|倍すること。

基本的に、数学の世界において回転は反時計回りを意味する。

A7 ( ド・モアブルの定理 )

n を整数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

n=0、1 の場合、次が成り立つ。



n=k の場合について定理が成り立つと仮定する。(数学的帰納法)

つまり、



n=k+1 の場合、



以上により、n=0、1、2、・・・ の場合について定理が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、n=−1,−2,・・・ の場合を示す。

n=−m ( m=1,2,3 ・・・ ) とおくと、



A6(2)を右辺に用いると、



ド・モアブルの定理を右辺に用いると、次が成り立つ。(★)



よって、n=−1,−2,・・・ の場合について定理が示された。

以上により、全ての整数 n について定理が示された。

(★)について補足

もしかしたら、

「 ド・モアブルの定理を証明しようとしているのに、ここでド・モアブルの定理を用いてよいのだろうか?」

「 これでは循環論法になってしまうのでは?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、問題はない。

n=1、2、3、・・・についてド・モアブルの定理が成り立つことは、既に前半で示されているからである。

−m は負の数であるが、m は正の数であることに注意。

A8

z、w を複素数とする。

m、n を整数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

A7(ド・モアブルの定理)より、

(2)の証明

A7(ド・モアブルの定理)より、

(3)の証明

A7(ド・モアブルの定理)より、

(4)の証明

複素数 z、w を次のようにおく。



A7(ド・モアブルの定理)より、

(5)、(6)の証明

上と同様に証明できる。

参考

最初、複素数は実数の組に演算を導入することで定義した。

その条件は、次のようなものであった。

(1) (a、b)+(c、d)=(a+c、b+d)

(2) k(a、b)=(ka、kb)

(3) (a、b)・(c、d)=(ac−bd、ad+bc)

このうち、条件(1)と(2)は平面上のベクトルと同じである。

ここに条件(3)が加わったことによって、随分と豊かになった。