原始関数(複素解析ver)

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定義 ( 原始関数 )

D を領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

ある 正則関数 F が存在して、任意の点 z∈D に対し、F’(z)=f(z)となるとする。

このとき、F を 『 f の原始関数 』 という。

C12 ( 補題 )

f:D→ を正則関数とする。

F を、f の原始関数とする。(★)

Γ:[a、b]→ を C級な曲線とする。

Γ⊂D であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(★)について補足

逆に言えば、f が原始関数をもたない場合、この定理は成り立たない。

よって、次のような自然な疑問が出る。

「 では、f はどのような条件で原始関数をもつのだろうか?」

簡単に言えば、D が単連結である場合、f は原始関数をもつ。

これについては後の章で扱う。

補足

つまり、これは合成関数の微分である。

よって、これは微分積分学の合成関数の微分を既知とすれば明らかである。

しかし、以下では直接的な証明を書いておく。

証明

t∈[a、b] とおく。

α=Γ(t) とおく。

いま、F’(z)=f(z) である。

よって、F(α+Δz)−F(α)=F’(α)Δz+o(|Δz|)=f(α)Δz+o(|Δz|) である。

同様に、Γ(t+Δt)−α=Γ’(t)Δt+o(|Δt|) である。

よって、

C13 ( 正則関数の線積分は経路に依存しない )

f:D→ を正則関数とする。

F を、f の原始関数とする。(★)

Γを、z と z を結ぶ C 級な曲線とする。

このとき、次が成り立つ。

(★)について補足

前定理の補足でも注意したように、この仮定がなければ定理の式は議論できないことに注意。

そして、D が単連結領域であれば、定理の式はつねに成り立つ。

これは後で 『 不定積分 』 というテーマで登場する。

つまり、式だけで見れば全く同じ式が後で登場するのである。

おそらく、これで道に迷う入門者は多いと思われる。

補足

定理の式により、正則関数の線積分は始点と終点のみに依存していることが分かる。

つまり、正則関数の線積分は経路に依存しない。

証明

Γ(a)=z、Γ(b)=z とおく。

C10、C12より、