閉曲線、グリーンの定理

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参考

グリーンの定理は 『 微分積分学の基本定理 』 を平面に拡張したものである。

初級者向けの参考書ではグリーンの定理の証明は簡易的に済まされることが多い。

このページではグリーンの定理について完全な証明を与える。

参考

次の用語はいずれも同じ意味である。

(1) C 級な曲線

(2) 連続微分可能な曲線

(3) 滑らかな曲線

多変数実数値関数の場合、C 級は偏微分可能性と導関数の連続性を意味する。

しかし、曲線は1変数なので、偏微分の意味が消えて、単に微分可能性と導関数の連続性を意味する。

「 滑らかな曲線 」 を 「 C級曲線 」 の意味が用いている参考書もある。

定義 ( 閉曲線 )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

Γ(t)=Γ(t)であるとする。

このとき、Γを 『 における閉曲線 』 という。

定義 ( 単純曲線、単純閉曲線 )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

次の条件を考える。

(1) Γ(a)≠Γ(b) かつ、Γは単射

(2) Γ(a)=Γ(b) かつ、Γは t=a 以外で単射

とくに、(1)または(2)が成り立つとき、Γを 『 単純曲線 』 という。

また(2)のみが成り立つとき、Γを 『 単純閉曲線 』 という。

直観的には次のような図で表される。

定義 ( 単純閉曲線の内部 )

Γ:[t、t]→ を単純閉曲線とする。

Γによって囲まれた領域を 『 単純閉曲線Γの内部 』 という。

また、これをΓint と表す。

上記の定義は少し直観的である。

厳密には 『 ジョルダンの曲線定理 』 を用いて定義できる。

ジョルダンの曲線定理とは、閉曲線 Γ に対して次が成り立つという定理である。

(*) ある有界な集合 A と非有界な集合 B が存在して、−Γ=A∪B となる。

そこで、この有界な集合 A を Γint と表す。

しかし、これはかなり神経質な話であるから、入門者は気にする必要はないであろう。

定義 ( 単純閉曲線の向き )

Γ:[t、t]→ を単純閉曲線とする。

パラメータ t∈[t、t] が増加するとき、閉曲線上の点が反時計回りに移動するとする。



このとき、「 単純閉曲線Γの向きは正である 」 という。

あるいは、「 単純閉曲線Γの向きは Γint を左側とする向きである 」 という。

そうでない場合は 「 単純閉曲線Γの向きは負である 」 という。

上記の定義は少し直観的である。

厳密には 『 外積 』 を用いて定義できる。

しかし、これはかなり神経質な話であるから、入門者は気にする必要はないであろう。

注意

以下、とくに断りがない限り、単純閉曲線の向きは正であるとする。

定義 ( 点の周りを一周する )

Γ:[t、t]→ を単純閉曲線とする。

α∈Γint とおく。

このとき、『 Γは点αの周りを一周する 』 という。

定義 ( 単連結 )

D を領域とする。

任意の単純閉曲線Γ⊂D に対し、Γint⊂D であるとする。

このとき、D を 『 単連結 』 という。

補足

簡単に言えば、単連結とは 『 穴が空いていない領域 』 を意味する。

定義 ( 多重連結領域 )

D を の領域とする。

D の境界 Bd(D) は、区分的に C 級な単純閉曲線の和集合であるとする。

ただし、単純閉曲線は互いに共通部分をもたないとする。

各単純閉曲線には D を左側とする向きを入れる。

このとき、Bd(D) を ∂D と表す。

また、D を 『 区分的に C 級な境界をもつ領域 』 または 『 多重連結領域 』 という。

つまり、多重連結領域とは次のような領域である。



とくに、穴が 0 個である場合、これは単連結領域を意味する。

また、穴が1個である場合を2重連結領域、穴が2個である場合を3重連結領域と呼ぶことがある。

参考 ( 微分積分学の基本定理 )

f:[a、b]→ を C 級関数とする。

このとき、次が成り立つ。

C14 ( グリーンの定理 )

D を、区分的に C 級な境界をもつ領域とする。( つまり、D は多重連結領域である )

f(z) を、 を含む領域で C 級な複素関数とする。

このとき、

補足

ただし、∬ は集合 E 上の重積分を意味する。

つまり、f=u+iv に対して次のように定義される。



むろん、ここでは f(z)=f(x+iy) を xy 平面 上の関数と見なす。

補足 ( 重要 )

定理の式を次のように表すこともできる。



この表記は意味が分かりやすく便利である。

また、以下の証明で用いるので確認しておこう。

まず、次のように定義する。



すると、次が成り立つ。





よって、f が正則ならば、∂f/∂z=f’(z)であり、∂f/∂=0 である。(※B12:正則⇔CR)

とくに、∂f/∂=0 はCR方程式と同じ意味をもつ。

また、グリーンの定理における ∬ の被積分関数は f が正則ならば 0 になる。

つまり、グリーンの定理によれば、f が正則ならば ∫∂Df(z)dz=0 である。

実は、これは 『 コーシーの積分定理 』 である。

コーシーの積分定理については改めて後述するが、既に私たちはコーシーの積分定理を導いたことになる。

つまり、グリーンの定理を既知とすれば、コーシーの積分定理は明らかである。

証明

証明は次の3段階で述べる。

(*1) 領域 D が長方形の場合について証明する。

(*2) 領域 D が実軸や虚軸に平行な折れ線曲線で囲まれた場合について証明する。

(*3) 領域 D が区分的に C 級な境界をもつ領域である場合について証明する。

証明は長いが、1つ1つの過程は簡単である。

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まず、領域 D が長方形の場合について考える。

D=[a、b]×[c、d] とおく。

つまり、D={ z=x+iy∈|a≦x≦b、c≦y≦d } である。

いま、∂D は下図のような閉曲線を意味する。



いま、次が成り立つ。(※微分積分学の基本定理)





よって、



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次に、領域 D が実軸や虚軸に平行な折れ線曲線で囲まれた場合について考える。

つまり、下図のような場合である。



いま、長方形が接着している部分では、線積分が打ち消し合う。

よって、実質的には、内側と外側の閉曲線に注目すればよい。

とくに、次の場合について示せば十分である。



ただし、I と I は長方形の接着部分である。

いま、



よって、



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領域 D が区分的に C 級な境界をもつ領域である場合について考える。

まず、D が単連結領域である場合について示す。



∂D=C を分割する。

Γ を、C の分点を D 内で結ぶ折れ線曲線とする。



E を、折れ線曲線で囲まれる領域とする。

いま、E⊂D である。

C の分割を十分細かくとすれば、D を E で近似できる。

つまり、



(C1≦k≦N を ∂D=C の分割とする。

α を C の始点とする。

β を C の終点とする。

いま、正則関数 z は定数関数 1 の原始関数である。

よって、次が成り立つ。(※C13)



また、∂D=C の分割を十分細かくとると、L(Γ)≦2|β−α|+ε≦2L(C)+ε となる。



つまり、L(Γ)<2L(Γ)+εとしてよい。(★1)

また、∂D=C の分割を十分細かくとると、|f(z)−f(α)|<ε ( z∈C∪Γ ) となる。(★2)

ただし、(★2)は 『 f の連続性 』 と 『 C ( または Γ ) の一様連続性 』 に基づいていることに注意。

(★2)の z と α は、いずれも C 上にある。

また、f は連続であるから、f*C は連続である。

つまり、f*C は曲線である。

よく知られているように、有界閉区間上の連続関数は一様連続である。

よって、f*C は一様連続である。

これが(★2)の根拠である。

(★2)より、



よって、(★1)より、



以上の内容は単連結な領域について示されたものである。

次に、多重連結領域について考える。

多重連結領域の曲線を構成する閉曲線の個数を m とすると、



いま、領域 E に対してグリーンの定理を使用できる。

よって、(*1)、(*2)より、



つまり、

定義 ( 面積 )

B を の部分集合とする。

次のように定義する。



このとき、|B|を 『 Bの面積 』 という。

C15

Γを区分的に C 級な単純閉曲線とする。

D=Γint とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

C14(グリーンの定理)において、f(x+iy)=x、g=0 の場合を考える。

いま、|D|=∫Γ xdy である。(★1)

一方、f=0、g(x+iy)=−y の場合を考える。

いま、|D|=−∫Γydx である。(★2)

(★1)と(★2)より、最後の式も簡単に出る。

参考 ( 具体例 )

α=a+ib∈ とおく。

Γ(t)=α+Reit (t∈[0、2π])とする。

いま、Γは点αを中心として一周する。

また、Γ[0、2π]は点αを中心とする半径 R の円である。

いま、次が成り立つ。(※C15)