特異点をもつ関数

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復習 ( 特異点 )

複素微分可能でない点を 『 特異点(非正則点) 』 という。

B18

f(z)=1/z とおく。

ただし、z=0 に対して f(0)=c ( 複素定数 ) と定める。

このとき、次が成り立つ。

(1) f(z) は原点において複素微分可能ではない。

(2) f(z) は原点以外で複素微分可能である。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

次のように計算できる。

B19

f(z)= とおく。

このとき、f(z) は正則ではない。

証明

z∈ とおく。

いま、



ここで、Δz→0 ( Δz∈ ) とする。

つまり、実軸に沿って Δz が 0 に近づくとする。

いま、Δz=Δz である。

よって、



一方、Δz→0 ( Δz∈i ) とする。

つまり、虚軸に沿って Δz が 0 に近づくとする。

いま、Δz=−Δz である。

よって、



つまり、Δz→0 の近づき方によって極限が異なる。

つまり、f(z)= は z において複素微分可能ではない。

B20

f(z)=|z| とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) f(z) は原点において複素微分可能である。

(2) f(z) は原点以外で複素微分可能ではない。

補足

つまり、f(z)=|z| は原点において正則ではないが、複素微分可能である。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

いま、



ここで、Δz→0 ( Δz∈ ) とする。

つまり、実軸に沿って Δz が 0 に近づくとする。

いま、Δz=Δz である。

よって、



一方、Δz→0 ( Δz∈i ) とする。

つまり、虚軸に沿って Δz が 0 に近づくとする。

いま、Δz=−Δz である。

よって、



つまり、Δz→0 近づき方によって極限が異なる。

つまり、f(z)=z は z≠0 において複素微分可能である。