複素微分、正則関数

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定義 ( 微分可能性 )

D を の開集合とする。

f:D→ を複素関数とする。

点 z∈D に対し、次の極限値が存在するとする。



この極限値を 『 点 z における f の微分係数 』 といい、f’(z)と表す。

また、「 f は z で微分可能である 」 という。

上の定義では D を開集合と仮定した。

こうすると、z の十分小な近傍は D に含まれる。

よって、|h|が十分小であるとすると、z+h は D に含まれる。

よって、上記のように微分を定義できる。

簡単に言えば、点 z の近傍を確保するために、D は開集合であると仮定したのである。

つまり、以下、関数が微分可能である場合には、その定義域は開集合である。

定義 ( 正則性 )

f:D→ を複素関数とする。( D は の開集合であるとする )

任意の点 z∈D において f は微分可能であるとする。

このとき、「 f は D 上で正則である 」 という。

定義 ( 導関数 )

f:D→ を正則関数とする。( つまり、D は の開集合である )

このとき、f’を D 上の写像と見なすことができる。

そこで、この写像 f’:D→ を 『 f の導関数 』 という。

f’を df(z)/dz と表すこともある。

実関数の場合、導関数 f’(x) が存在する条件は左極限と右極限が一致することのみであった。

ところが、複素関数の極限は2次元で考えなければならない。



つまり、複素関数 f(z) が点 z で微分可能であるためには、

平面上のあらゆる方向から近づいても極限値が1つに定まらなければならない。

その意味で、複素関数の微分可能性は、実関数よりも強い条件であるといえる。

定義 ( 正則点 )

f:D→ を複素関数とする。

a∈D とおく。

a の十分小な開近傍で f が正則であるとする。

つまり、ある ε>0 が存在して、S(a、ε)上で f が正則であるとする。

このとき、a を 『 f の正則点 』 という。

また、「 f は点 a において正則である 」 という。

参考

『 f が点 a において微分可能である 』 と 『 f は点 a において正則である 』 は意味が異なる。

例えば、次のように定める。



このとき、f は z=0 で微分可能である。

しかし、f は 0 以外の実軸上の点で微分不可能である。

よって、z=0 は f の正則点ではない。

定義 ( 特異点 )

複素微分可能でない点を 『 特異点(非正則点) 』 という。

『 特異点 』 という用語は数学や物理の他の分野でもしばしば登場する。

ただし、特異点という用語の意味は分野によって異なる。

定義 ( 連続微分可能 )

f:D→ を複素関数とする。

f の微分 f’は D 上で連続であるとする。

このとき、「 f は D 上で連続微分可能である 」 という。

また、f’’が D 上で連続であるとき、「 f は D 上で2回連続微分可能である 」 という。

定義 ( C

f:D→ を複素関数とする。

f=u+iv とおく。( つまり、u=Ref、v=Imf である )

u と v は r 回偏微分可能であるとする。

任意の k≦r に対し、u と v の k 次偏導関数は D 上で連続であるとする。

このとき、「 f は D 上で C 級である 」 という。

とくに、f が C級であることは、f が連続であることを意味する。

B9 ( f(z)=1/(z−a)は点 a 以外で正則 )

a∈ とおく。

次のように定める。



ただし、c は任意の複素定数である。( f(z)は点 a で定義されていなくてもよい )

このとき、f は −{a}上で正則である。

また、次が成り立つ。



また、点 a は f の特異点である。

補足

つまり、f(z)=1/(z−a)は点 a 以外で正則である。

この関係は後で何度も使用される。

証明

z∈−{a}とおく。

h∈−{0}とおき、|h|は十分小であるとする。

いま、



一方、



よって、点 a は特異点である。

B10

f:D→ を複素関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f が点 z で微分可能ならば、f は z で連続である。

(2) f が D 上で正則ならば、f は D 上で連続である。

(1)の証明

=(f(z+h)−f(z))/h とおく。

いま、f(z+h)=f(z)+hw である。

また、limh→0=f’(z) である。

よって、limh→0hw=0 である。

よって、limh→0f(z+h)=f(z)である。

つまり、f は点 z で連続である。

(2)の証明

(1)より明らかである。

B11

f、g:D→ を複素関数とする。

f、g は D 上で正則であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f+g は正則であり、



(2) fg は正則であり、



(3) 任意の z∈D に対してg(z)≠0 ならば、f/g は D 上で正則であり、



(4) 複素関数 g が f(D)を含む開集合上で正則ならば、g*f はD上で正則であり、

(*1)〜(*4)の証明

微分積分学の証明と全く同様になされるので省略する。

参考

n∈ とおく。

このとき、明らかに、f(z)=1/(z−a) は点 a 以外で正則である。(※B9、B11(2))

この関係はよく使用される。