複素関数の極限と連続性

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注意

以下、とくに断りがない限り、D は の開集合を意味するものとする。

定義 ( 複素関数の極限 )

f:D→ を複素関数とする。

次が成り立つとする。

(*) 任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、0<|z−z|<δ⇒|f(z)−w|<εとなる。

このとき、「 f は点 z において極限値 w をもつ 」 という。

このことを次のように表す。

(*1) f(z)→w ( z→z

または次のように表す。

(*2) limz→zf(z)=w

B1

次のようにおく。



このとき、次は同値である。

証明

いま、



よって、(1)と(2)は同値である。

B2

f、g:D→ を複素関数とする。

f、g は点 z で極限値 a、b をもつとする。

このとき、次が成り立つ。

(1)〜(4)の証明

微分積分学の実数値関数と全く同様に証明できる。

定義 ( 複素関数の連続性 )

f:D→ を複素関数とする。

f が点 a∈D において極限値 f(a)をもつとする。

つまり、limz→af(z)=f(a)であるとする。

このとき、「 f は点 a で連続である 」 という。

定義 ( E上で連続である )

f:D→ を複素関数とする。

E⊂D とする。

任意の点 z∈E において f は連続であるとする。

このとき、「 f は E 上で連続である 」 という。

B3

f:D→ を複素関数とする。

f(z)=u(x、y)+iv(x、y) とおく。

このとき、次は同値である。

(1) f が z=x+iy において連続である。

(2) u(x、y)、v(x、y) がともに (x、y)=(x、y) において連続である。

また、次は同値である。

(3) f は D 上で連続である。

(4) u、v は D上で連続である。

(1)⇔(2)の証明

明らかである。(※B1)

(3)⇔(4)の証明

(1)⇔(2)より明らかである。

B4

f、g:D→ を D 上で連続な複素関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) |f|は D 上で連続である。

(2) f+g は D 上で連続である。

(3) fg は D 上で連続である。

(4) 「 任意の点 z∈D に対し g(z)≠0 」 ならば、f/g はD上で連続である。

証明

明らかである。(※B2)

B5

βを複素数とする。

このとき、次の複素関数は 上で連続である。

(1)の証明

β=a+ib とおく。

いま、eβz=eazibz である。

z=x+iy とおく。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、eaz=eax+iay=eaxiay=eaxcosay+ieaxsinay である。(※A9:オイラーの公式)

また、eaxcosay と eaxsinay は 上で連続である。(※微分積分学)

よって、eaz 上で連続である。(※B3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、eibz=eib(x+iy)=e−byibx=e−bycosbx+ie−bysinbx である。(※A9:オイラーの公式)

また、e−bycosbx と e−bysinbx は 上で連続である。(※微分積分学)

よって、eibz 上で連続である。(※B3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、eβz 上で連続である。(※B4)

(2)の証明

いま、cosβz=(eiβz+e−iβz)/2 である。(※定義:複素三角関数)

(1)より、eβz 上で連続である。

よって、cosβz は 上で連続である。(※B4)

(3)の証明

(2)と同様である。

B6

f:D→ を D 上で連続な複素関数とする。

g を、f(D)を含む部分集合上で定義された連続な複素関数とする。

このとき、g*f はD上で連続である。

証明

実関数の合成関数の微分と同様である。

B7 ( ある点において >0 ならば、その近傍で >0 である )

f:D→ を複素関数とする。

f は z において連続であるとする。

f(z)>0 とする。

このとき、あるδ>0 が存在して、|z−z|<δ⇒ f(z)>0 となる。

補足

この定理は直観的に明らかであろう。

同様のことは逆の不等式 <0 の場合についても成り立つ。

証明

いま、|f(z)|>0 である。

そこで、0<ε<|f(z)|とおく。

いま、f は点 z で連続である。

よって、あるδ>0 が存在して、|z−z|<δ⇒ |f(z) −f(z)|<εとなる。

また、|f(z)|=|f(z)−f(z)+f(z)|≦|f(z)−f(z)|+|f(z)|である。

よって、|f(z)|≧|f(z)|−|f(z)−f(z)|>|f(z)|−ε>0 である。

以上により、|z−z|<δ⇒|f(z)|>0 である。