複素関数、オイラーの公式、複素三角関数

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定義 ( 複素関数 )

D を の部分集合とする。

f:D→ を写像とする。

このとき、f を 『 D上の複素関数 』 という。

注意 ( 複素関数の表示 )

f:D→ を複素関数とする。

z∈D とおく。

z=x+iy とおく。

写像 u、v を次のように定める。



このとき、

もしかすると、次のような疑問をもつ人がいるかもしれない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

u、v の定義域は の部分集合として E={ (x、y)∈|x+iy∈D } と表される。

いま、f は u と v によって表されている。

よって、f の定義域も E であるはず。

つまり、f の定義域は の部分集合である。

しかし、定義(複素関数)に書かれているように、f の定義域は の部分集合である。

これはどういうことだろうか?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

しかし、問題はない。

なぜなら、定義(複素平面)でも述べたように、 を同一視してよいからである。

つまり、D と E を同一視してよい。

定義 ( z平面、w平面 )

f:D→ を複素関数とする。

複素解析学では w=f(z) と表すことが多い。(微分積分学の y=f(x)と同様)

そこで、f の定義域を与える複素平面を 『 z平面 』 という。

また、f の終域を与える複素平面を 『 w平面 』 という。

補足

具体的に、f(z)=z について考えてみよう。

また、z=2+i とする。

いま、w平面上では w=f(z)=3+4i である。

これを図示すると、



上図からも分かるように、複素関数は 『 平面から平面への関数 』 である。

定義( exp )

z=x+iy を複素数とする。

写像 exp を次のように定義する。



exp(z)を略して e と表す。

つまり、

この定義において y=0 とすると、右辺は e となって実関数の指数関数に一致する。

つまり、ここで定義した e は実数の世界でよく知られた e の一般化である。

A9 ( オイラーの公式〜その1 )

θを実数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

定義(exp)において z= iθ とすればよい。

A10

x を実数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

いま、eix=cosx+isinx である。(※A9:オイラーの公式〜その1)

また、e−ix=cos(−x)+isin(−x)=cosx−isinx である。(※A9:オイラーの公式〜その1)

よって、cosx=(eix+e−ix)/2 である。

(2)の証明

(1)と同様である。

A11

n を整数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

いま、(cosθ+isinθ)=cos(nθ)+isin(nθ) である。(※A7:ド・モアブルの定理)

よって、(eiθ=einθ である。(※A9:オイラーの公式〜その1)

(2)の証明

A9(オイラーの公式)、定義(極形式)より、

(3)の証明

A9(オイラーの公式)より、

(4)の証明

A9(オイラーの公式)より、

定義 ( 複素三角関数 )

z を複素数とする。

次のように定義する。



これらの関数を 『 複素三角関数 』 という。

z を 実数 x に置き換えると、これはA10の式に一致する。

A12( オイラーの公式〜その2 )

z を複素数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。(※複素三角関数の定義)

A13

z、z、z を複素数とする。

n を整数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

定義(複素三角関数)より、



A9(オイラーの公式)より、



よって、







他の式についても同様に証明できるので、残りの式についての証明は省略する。

A14

z、z、z を複素数とする。

n を整数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

=x+iy、z=x+iy とおく。

A12(オイラーの公式〜その2)より、

(2)の証明

=x+iy、z=x+iy とおく。

定義(exp)、A6、A9(オイラーの公式〜その1)より、

(3)の証明

定義(exp)、A9(オイラーの公式)、A7(ド・モアブルの定理)より、

(4)の証明

A9(オイラーの公式)より、

(5)の証明

(1)、(4)より、

参考

ところで、定義(exp)では次のように書いた。



そのとき、次のような書き方はしなかった。



(*2)の式にはA9(オイラーの公式)が用いられていることが分かるであろう。

また、(*2)は分かりやすい。

最初に書いた(*1)は唐突で意味が分かりにくい。

ならば最初から(*2)のように書けばよかったのではないだろうか?

しかし、それはできない。

なぜなら、(*2)では ex+iy=e・eiy という関係が用いられているからである。

これは(*1)の式が登場した段階ではまだ示されていなかった。

しかし、A14(1)によって、それが示された。

だから、A14(1)以降は(*2)のような書き方を使用してよい。

参考

をマクローリン展開すると、



また、sinx、cosx をマクローリン展開すると、



マクローリン展開は微分積分で学ぶ内容である。

ただし、読者はマクローリン展開を知らなくてもよい。

いまは、とりあえず上記の関係が成り立つことを認めてもらえばよい。

さて、上記の関係を用いると、



つまり、



(*2)は(*1)の x を ix に置き換えた形になっている。