曲線と弧状連結

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定義 ( 曲線 )

[t、t] を の閉区間とする。

Γ:[t、t]→ を複素数値関数とする。

Γ は任意の点 t∈[t、t] で連続であるとする。

このとき、Γ を 『 曲線 』 という。

また、Γ(a)を 『 始点 』 といい、Γ(b)を 『 終点 』 という。

t を 『 Γのパラメータ 』 という。

注意 ( 写像としての曲線、図形としての曲線 )

上で定義した曲線は写像である。

ただし、曲線の値域 Γ[t、t] を曲線と呼ぶこともある。

日常的には図形 Γ[t、t] を曲線と呼ぶことが多い。

曲線が写像と図形のどちらを意味するかは文脈から容易に判断できる。

以下、Γ[t、t] を単に Γ と表すことも多い。

あるいは、RanΓと表すこともある。

定義 ( D内の曲線 )

D を の部分集合とする。

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

Γ⊂D とする。(★)

このとき、Γ を 『 D内の曲線 』 という。

(★)について補足

これは Γ の値域が D に含まれることを意味する。

つまり、次はすべて同じ意味である。

(*1) Γ⊂D

(*2) Γ[t、t]⊂D

(*3) RanΓ⊂D

(*4) 任意の t∈[t、t] に対し、Γ(t)∈D である。

定義 ( 曲線の和 )

[t、t] を の閉区間とする。

これを t=c<・・・<c=t と分割する。

各 i ∈{1、・・・、n}に対し、曲線 Γ:[c i−1、c]→ を定める。

ただし、Γ(c)=Γ i+1(c)( i=1、・・・、n−1)とする。

ここで、次のように定める。



このとき、曲線 Γ を 『 Γ、・・・、Γ の和 』 といい、Γ=Γ・Γ・・・Γ と表す。

定義 ( 線分 )

、z とおく。( ただし z≠z とする )

L:[0、1]→ を L(t)=(1−t)z+tz で定める。

このとき、L を 『 z と z を結ぶ線分 』 という。

定義 ( 折れ線曲線 )

L を曲線とする。

ある線分 L、・・・、L が存在して、L=L・・・L となるとする。

このとき、L を 『 折れ線曲線 』 という。

・・・L は L、・・・、L をつないだ曲線を意味する。

定義 ( 弧状連結 )

D を の部分集合とする。

任意の点 z、z∈D に対し、ある曲線Γ⊂Dが存在して、Γ(t)=z、Γ(t)=z となるとする。

このとき、「 D は弧状連結である 」 という。