線積分の定義(置換積分ver)

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参考

線積分の定義は主に次の2通りである。

(1) 区分求積による定義

(2) 置換積分による定義

このページでは、置換積分で線積分を定義する。

参考

次の用語はいずれも同じ意味である。

(1) C 級な曲線

(2) 連続微分可能な曲線

(3) 滑らかな曲線

多変数実数値関数の場合、C 級は偏微分可能性と導関数の連続性を意味する。

しかし、曲線は1変数なので、偏微分の意味が消えて、単に微分可能性と導関数の連続性を意味する。

「 滑らかな曲線 」 を 「 C級曲線 」 の意味が用いている参考書もある。

参考

このページでは次の手順によって線積分を構成する。

(1) 曲線の積分

(2) 軸に関する線積分

(3) 線積分

定義 ( 曲線の積分 )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

Γ(t)=X(t)+iY(t)とする。

Γの積分を次のように定義する。

右辺の積分は高校でお馴染みの実関数の積分であることに注目。

それを実部と虚部にしてつないでいるだけである。

次のように書いても意味は同じである。(※定義:リーマン積分)

『 曲線の積分 』 と 『 曲線の長さ 』 は異なる概念であることに注意せよ。

定義 ( 軸に関する積分 )

Γ:[t、t]→ を C 級な曲線とする。

Γ(t)=X(t)+iY(t)とおく。

Γ⊂D とする。

f:D→ を連続な複素関数とする。

次のように定義する。



前者を 『 Γに沿う f の x 方向に関する線積分 』 という。

後者を 『 Γに沿う f の y 方向に関する線積分 』 という。

このとき、Γを 『 積分経路 』 という。

仮定より、Γ’(t)は連続である。

一方、Γ’(t)=X’(t)+iY’(t)である。(※C3)

よって、X’(t)やY’(t)も連続である。(※C1)

よって、f(Γ(t))X’(t)と f(Γ(t))Y’(t)は曲線である。

だから、定義に書かれている式の右辺は曲線の積分である。

つまり、定義(軸に関する積分)は、定義(曲線の積分)に基づいている。

注意 ( 区分的に C 級な曲線の線積分 )

Γを区分的に C 級な曲線とする。

ある C 級な曲線Γ、・・・、Γ が存在して、Γ=Γ・・・Γ であるとする。

このとき、次のように定義する。

このように、話を区分的に C 級な曲線に広げることは容易である。

定義 ( 線積分 )

D を の領域とする。

f:D→ を連続な複素関数とする。

Γ:[t、t]→D を区分的に C 級な曲線とする。

このとき、次のように定義する。



これを 『 Γに沿う f の線積分 』 という。

このとき、Γを 『 積分経路 』 という。

以上で 「 曲線の積分 → 軸に関する線積分 → 線積分 」 の順番で線積分を構成した。

以下、曲線の積分、軸に関する線積分、線積分 の性質を順番に調べていく。

C8 ( 積分の評価式 )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

a=t<t<・・・<t=b とおき、[a、b]を分割する。

ただし、次が成り立つように分割する。



定義(曲線の積分)の補足より、



よって、

次に、軸に関する線積分に関する性質を調べよう。

C9

Γ:[t、t]→ を C 級な曲線とする。

Γ をΓと同値な C 級な曲線とする。

−ΓをΓと逆向きの C 級な曲線とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

仮定より、 C 級な写像 h:[s、s]→[t、t]が存在して、次が成り立つ。

(*1) h は狭義単調増加

(*2) Γ(s)=Γ(h(s))=X(h(s))+iY(h(s))

よって、



ここで、t=h(s)とおく。

いま、h は単調増加で dt/ds=h’(s)である。

よって、



後者の式についても同様に示される。

(2)の証明

−Γ(t)=Γ(t+t−t)の場合を考える。(※C2)

いま、



ここで、s=t+t−t とおく。

いま、



後者の式についても同様に示される。

ただし、これは−Γ(t)=Γ(t+t−t)の場合だけを示したにすぎない。

実際には、Γと逆向きの曲線はΓ(t+t−t)だけではない。

しかし、(1)によれば同値な曲線の積分値は等しいことが分かっている。

よって、Γの任意の逆向きの曲線についても定理の関係が成り立つと考えてよい。

次に、いよいよ線積分に関する性質を調べる。

C10 ( 置換積分 )

f:D→ を連続な複素関数とする。

Γ:[t、t]→D を C 級な曲線とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

同様の定理は微分積分学の置換積分として知られている。

また、この定理は、線積分を曲線の積分に変換することを意味する。

補足

この定理は後で何度も使用する。非常に重要な定理である。

ただし、これはほとんど表記の問題である。

だから、これを線積分の定義として書き表している書物も多い。

証明

Γ(t)=X(t)+iY(t)とする。

いま、次が成り立つ。(※定義:線積分、C3)

C11 ( 線積分の線形性 )

f、g:D→ を連続な複素関数とする。

Γ:[t、t]→D を C 級な曲線とする。

Γ⊂D とする。

(1) 任意の定数 a、b∈ に対し、次が成り立つ。



(2) Γ=Γ・Γ ( Γ、Γ は C 級な曲線)であるとすると、



(3) −ΓをΓと逆向きの曲線とすると、



(4) Γ[t、t]上の|f(z)|の最大値を M とする。L(Γ)をΓの長さとすると、

補足

ただし、(4)の L(Γ) はΓの長さを意味する。

(1)の証明

定義(線積分)→定義(軸に関する積分)→定義(曲線の積分)の順番を辿ってみよう。

すると、最終的に実関数の積分∫X(t)dt、∫Y(t)dt に帰着できる。

実関数の積分について線形性が成り立つことはよく知られている。

よって、(1)が成り立つ。

(2)の証明

明らかである。

ここではΓは C 級であるとしたが、Γ と Γ の繋ぎ目では微分不可能でもよい。

このことは明らかである。

(3)の証明

明らかである。(※C9)

(4)の証明

C10、C8、定義(曲線の長さ)より、



参考

ここまで 『 C 級な曲線 』 について議論した。

これらの内容は 『 区分的に C 級な曲線 』 にも適用できる。

これは曲線を繋ぎ合せるだけなので明らかであろう。