連結と弧状連結

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定義 ( 近傍 )

α∈ とおく。

S(α、r)={ z∈;|z−α|<r } と定義する。

このとき、S(α、r)を 『 αの r 近傍 』 という。

定義 ( 開集合 )

D を の部分集合とする。

任意の点 z∈D に対し、あるε>0 が存在して、S(z、ε)⊂D となるとする。

このとき、D を 『 の開集合 』 という。

定義 ( 連結 )

U を の開集合とする。

U を2つの開集合の直和として表すことはできないとする。

このとき、「 U は連結である 」 という。

B8

D を の開集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) D は連結である。

(2) D は弧状連結である。

(3) 任意の点 z、z∈D は D 内の折れ線曲線によって結ばれる。

証明

この定理は後の議論で直接に用いるわけではないので、証明は省略する。

定義 ( 領域 )

D を の部分集合とする。

D は弧状連結な開集合であるとする。

このとき、D を 『 領域 』 という。

つまり、領域とは、1つにつながった開集合を意味する。

むろん、開球 S(a、ε)は領域である。

むろん、定義に書かれている 『 弧状連結 』 を 『 連結 』 に言い換えても意味は同じである。(※B8)

参考書によって書き方が異なる場合があるので、これで入門者が混乱することはあるかもしれない。

なので、上で弧状連結と連結と同値性を説明したのである。