コーシーの積分定理〜その1(不定積分)

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参考

このページでは 『 コーシーの積分定理 』 を証明する。

コーシーの積分定理は、数学全体で見ても非常に重要な定理である。

コーシーの積分定理を起点にして、様々な定理が示される。

注意

単純閉曲線 Γ の内部を Γint と表す。

つまり、Γint は閉曲線Γによって囲われた領域を意味する。

参考

次の用語はいずれも同じ意味である。

(1) C 級な曲線

(2) 連続微分可能な曲線

(3) 滑らかな曲線

多変数実数値関数の場合、C 級は偏微分可能性と導関数の連続性を意味する。

しかし、曲線は1変数なので、偏微分の意味が消えて、単に微分可能性と導関数の連続性を意味する。

「 滑らかな曲線 」 を 「 C級曲線 」 の意味が用いている参考書もある。

D1 ( コーシーの積分定理〜その1 )

f:D→ を正則関数とする。( D は領域であるとする )

Γを区分的に C 級な単純閉曲線とする。(★1)

Γ⊂D かつ Γint⊂D とする。

f は C 級であるとする。(★2)

このとき、次が成り立つ。

補足

条件(★1)や(★2)を外すこともできる。

(★2)を外した証明はかなり長くなるので省略する。

ただし、以降では条件(★2)を外してD1を使用してよいことにする。(重要!)

条件(★1)を外すこともできる。

つまり、連続な閉曲線に対してもコーシーの積分定理が成り立つ。

これを示すには、ホモローグという概念を用いる。

補足

Γ⊂D でも Γint⊂D が成り立たない場合があることに注意しよう。

例えば、下図のような場合である。



この場合、Γ⊂D だが、Γint⊂D ではない。

つまり、仮定を満たしていないので、コーシーの積分定理は使用できない。

逆に言えば、Γint⊂D という条件は 「 円の内部では D に穴が空いていない 」 を意味する。

もし、D に穴が空いているのであれば、この穴を囲まないように線積分を考える必要がある。

証明

E を 領域とする。

Γ⊂E かつ Γint⊂E とする。

f’が E 上で連続であるとする。

f=u+iv とおく。

いま、f’(z)=u+iv である。(※B17:正則性⇔CR)

また、u、v は E 上で連続である。

定義(線積分)、C14(グリーンの定理)、B17(正則性⇔CR)より、

D2 ( 線積分の値は積分経路に依存しない )

f:D→ を正則関数とする。( D は領域であるとする )

a、b∈D とする。

Γ、Γ を、a を始点、b を終点とする区分的に C 級な単純曲線とする。

Γ、Γ⊂D とする。

(Γ・(−Γ))int⊂D とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

Γ・(−Γint は閉曲線を意味することに注意せよ。

実際、Γ と Γ は始点と終点を共有しているから、



上記の図はΓ・(−Γ)が単純閉曲線になる場合である。

ただし、その他の可能性も考えられる。

つまり、Γ と Γ が交わる場合である。

これを図示すると、



ここで、交点を c とする。

そして、「 a と c 」 と 「 c と b 」 に分けて上と同様の議論を行えばよい。

この様子を図示すると、



よって、結局は単純閉曲線の場合だけを考えればよい。

証明

Γ=Γ・(−Γ)とおく。

仮定より、Γint⊂D である。

よって、∫Γ f(z)dz=0 である。(※D1:コーシーの積分定理)

また、



よって、定理が示された。

D3 ( 積分値は中の円と同じ )

f:D→ を正則関数とする。( D は領域であるとする )

Γ、Γ、・・・、Γ を区分的に C 級な単純閉曲線とする。

ここで、次が成り立つとする。

(1) Γ、・・・、Γ はΓの内部にある。

(2) Γ、・・・、Γ は互いに交わらない。

(3) Γ、・・・、Γ とΓで囲まれる領域において f は正則である。

このとき、次が成り立つ。

補足

この定理は非常に重要である。後で何度も使用する。

証明

簡略化のため、n=3 として示そう。

E を、Γ、・・・、Γ とΓで囲まれる領域とする。

下図のように、積分経路をとる。



これは、領域 E を囲む1つの閉曲線と見なせる。

とくに、線分 L、L、L 上での線積分は往復して相殺される。

( 図では分かりやすくするために2本の線で表している )

よって、次が成り立つ。(※D1:コーシーの積分定理)



よって、

D4 ( D3の典型的な応用 )

Γを点 a を通らない単純閉曲線とする。

(1) 点 a がΓの内部にあるとき、次が成り立つ。



(2) 点 a がΓの外部にあるとき、次が成り立つ。

補足

「 D3→D4 」 の論法は以下の議論でも繰り返し用いられる。

これは、領域の中に小さな円を作って、線積分の定義域をその円周上に移すというものである。

(1)の証明

Γ(t)=a+reit (r>0、0≦t≦2π)とおく。

つまり、Γ は点 a を中心とする半径 r の円である。

ただし、r を十分小として、Γ⊂Γint とする。

いま、ΓとΓ で囲まれた領域において 1/(z−a)は正則である。(※B9)

よって、次が成り立つ。(※D3、C10)

(2)の証明

仮定より、点 a はΓの外部にある。

よって、1/(z−a) はΓ と Γint で正則である。(※B9)

よって、積分値は 0 である。(※D1:コーシーの積分定理)

復習 ( 単連結 )

D を領域とする。

任意の単純閉曲線Γ⊂D に対し、Γint⊂D であるとする。

このとき、D を 『 単連結 』 という。

補足

簡単に言えば、単連結とは 『 穴が空いていない領域 』 を意味する。

定義 ( 不定積分 )

D を単連結な領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

∈D とおき、これを固定する。

を始点とし、z∈D を終点とする単純曲線をΓ と表す。

ここで、次のような線積分を考える。



この積分の値は経路Γ の取り方に依存しない。(※D2の証明と同様)

そこで、次のような写像 F を定義できる。



写像 F を 『 f の不定積分 』 といい、次のように表す。

参考 ( 積分の区別 )

次の3つの表記に注意せよ。



とくに、(1)と(2)は 『 線積分 』 だが、(3)は 『 曲線の積分 』 である。

復習 ( 原始関数 )

D を領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

ある 正則関数 F が存在して、任意の点 z∈D に対し、F’(z)=f(z)となるとする。

このとき、F を 『 f の原始関数 』 という。

D5 ( 不定積分は原始関数 )

f:D→ を正則関数とする。( D は単連結な領域であるとする )

F を f の不定積分とする。

つまり、



このとき、F は D 上で正則である。

また、F’(z)=f(z)が成り立つ。

( つまり、F は f の原始関数である )

証明

h∈ とおく。

|h|は十分小であるとする。

いま、z と z+h を結ぶ線分は D に含まれる。

そこで、L(t)=z+th(0≦t≦1)とおく。

いま、L[0、1]⊂D である。

また、次が成り立つ。(※D2)



よって、



一方、C10より、



ε>0 とおく。

いま、f は連続である。

よって、あるδ>0 が存在して、|w|<δ⇒|f(z+w)−f(z)|<εである。

そこで、|h|<δとする。

いま、t∈[0、1]に対し、|th|<δである。

よって、|f(z+th)−f(z)|<εである。

よって、



よって、

D6

f:D→ を正則関数とする。( Dは領域であるとする )

G、H を f の原始関数とする。

このとき、ある c∈ が存在して、任意の z∈D に対し、G(z)=H(z)+c となる。

証明

仮定より、任意の z∈D に対し、G’(z)=f(z)=H’(z)である。

よって、任意の z∈D に対し、(G−H)’(z)=0 である。

よって、ある c∈ が存在して、G(z)−H(z)=c となる。(※B15)

D7 ( 複素積分 )

f:D→ を正則関数とする。( D は単連結な領域であるとする )

このとき、f の原始関数 F が存在して、任意のα、β∈D に対して次が成り立つ。

補足

つまり、複素関数の積分は、実関数の積分と同様に計算できる。

このことを強調して、上記の計算を 『 複素積分 』 という。

証明

原始関数が存在する。(※D5)

よって、定理が成り立つ。(※C13)

補足

今回の定理は C13 とほぼ同じ内容である。

ただし、今回は単連結性によって原始関数の存在が保証されている。