コーシーの積分定理〜その2(単連結領域ver、多重連結領域ver)

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注意

単純閉曲線 Γ の内部を Γint と表す。

つまり、Γint は閉曲線Γによって囲われた領域を意味する。

参考

次の用語はいずれも同じ意味である。

(1) C 級な曲線

(2) 連続微分可能な曲線

(3) 滑らかな曲線

多変数実数値関数の場合、C 級は偏微分可能性と導関数の連続性を意味する。

しかし、曲線は1変数なので、偏微分の意味が消えて、単に微分可能性と導関数の連続性を意味する。

「 滑らかな曲線 」 を 「 C級曲線 」 の意味が用いている参考書もある。

復習 ( 単連結 )

D を領域とする。

任意の単純閉曲線Γ⊂D に対し、Γint⊂D であるとする。

このとき、D を 『 単連結 』 という。

既に示したように、単連結領域では不定積分が存在する。

不定積分の存在は 『 単連結において線積分が積分経路に依存しないこと 』 に基づいていた。

そして、『 単連結において線積分が積分経路に依存しないこと 』 は、コーシーの積分定理に基づいていた。

この流れは複素解析において最も重要である。

復習 ( 多重連結領域 )

D を の領域とする。

D の境界 Bd(D) は、区分的に C 級な単純閉曲線の和集合であるとする。

ただし、単純閉曲線は互いに共通部分をもたないとする。

各単純閉曲線には D を左側にみる向きを入れる。

このとき、Bd(D) を ∂D と表す。

また、D を 『 区分的に C 級な境界をもつ領域 』 または 『 多重連結領域 』 という。

つまり、多重連結領域とは次のような領域である。



とくに、穴が 0 個である場合、これは単連結領域を意味する。

また、穴が1個である場合を2重連結領域、穴が2個である場合を3重連結領域と呼ぶことがある。

D8 ( コーシーの積分定理〜その2:単連結ver )

f:D→ を正則関数とする。( D は単連結な領域であるとする )

Γを区分的に C 級な閉曲線とする。

Γ⊂D かつ Γint⊂D とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

D1(コーシーの積分定理〜その1)では、単純閉曲線という条件を仮定していた。

一方、今回の定理では 「 単連結な領域 」 を仮定する。

その代わり、単純閉曲線という条件を外し、ただの閉曲線について主張しているのである。

証明

a をΓの始点とし、b をΓの終点とする。

いま、Γは閉曲線であるから、Γ(a)=Γ(b)である。

F を f の不定積分とする。

いま、F は f の原始関数である。

よって、∫Γf(z)dz=F(Γ(b))−F(Γ(a))=0 である。(※D7)

D9 ( コーシーの積分定理〜その3:多重連結ver )

D を区分的に C 級な境界をもつ領域とする。( つまり、D は多重連結領域である )

f を、 を含む領域で正則な関数とする。

このとき、

補足

2通りの方法で理解できる。

証明〜その1

D1(コーシーの積分定理〜その1)と全く同様に証明できる。

証明〜その2

明らかである。(※D1、D3)

補足

本来、参考書では 「 証明〜その1 」 または 「 証明〜その2 」 のいずれかのみを扱う。

このサイトではあえて両方を扱った。

参考 ( 閉曲線のホモロジ類 )

D を2重連結領域とする。

Γ を D の外側の閉曲線とし、Γ を D の内側の閉曲線とする。

f を、 を含む領域で正則な複素関数とする。

いま、0=∫∂Df(z)dz=∫Γf(z)dz−∫Γf(z)dz である。(※D9)

つまり、∫Γf(z)dz=∫Γf(z)dz である。

実は、このΓ とΓ は、同じ 『 閉曲線のホモロジ類 』 に属する。

つまり、積分は、ホモロジ類によって定まる。

ここではホモロジ類に関する議論は省略する。