正則性⇔CR方程式

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注意

D を の開集合とする。

f を D 上で偏微分可能な実数値関数とする。

D の変数 x に関する偏導関数を f と表す。

D の変数 y に関する偏導関数を f と表す。

つまり、

ただし、ここで述べている D は E={ x+iy∈|x+iy∈D } を意味する。

前のページでも述べたように、D と E は同一視できることに注意。

つまり、ここに書いた内容は微分積分学の偏微分と全く同じである。

定義 ( CR方程式 )

f:D→ を複素関数とする。

f(z)を 上の関数と見なし、f(x、y)と表す。( つまり、z=x+iy である )

さらに、f(x、y)=u(x、y)+iv(x、y)と表す。( つまり、u=Ref、v=Imf である )

ある点(x、y)∈D において次が成り立つとする。



ただし、u と v は(x、y)の近傍で偏微分可能である。

このとき、(*)を 『 コーシー・リーマンの方程式 』 という。

以下、これを単に 『 CR方程式 』 という。

B12 ( 正則性⇔CR )

f:D→ を複素関数とする。

f=u+iv とおく。( つまり、u=Ref、v=Imf である )

このとき、次は同値である。

(1) f が D 上で正則である。

(2) f は D 上で CR を満たし、u、u、v、v は D 上で連続である。

また、上の(1)または(2)が成り立つとき、次が成り立つ。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

=x+iy とおく。

いま、



f(z)を(x、y)の関数と見なして、f(x、y)と書くことにする。

いま、上式は次のように書き直される。



上式の両辺について実部と虚部を比較すると、



また、u、u、v、v は D 上で連続である。(※B10)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

h=h+ih とおく。 ( つまり、h=Reh、h=Imh である )

いま、



いま、u と u は D 上で連続である。

よって、u は D 上で微分可能である。(※微分積分)

同様に、v は D 上で微分可能である。

つまり、



(*2)と(*3)を(*1)に代入し、CR方程式を用いると、次が成り立つ。



つまり、



つまり、f は z において微分可能である。

(*)の証明

上の証明の最後で既に示されている。

B13

(1) z 上で正則であり、(z)’=nzn−1 である。

(2) e 上で正則であり、(e)’=e である。

(3) cosz は 上で正則であり、(cosz)’=−sinz である。

(4) sinz は 上で正則であり、(sinz)’=cosz である。

(5) Logz は −(−∞、0]上で正則であり、(Logz)’=1/z である。

補足

例えば、(1)と(4)から次が分かる。(※B11(4))

(*) sinz 上で正則であり、(sinz)’=2zcosz である。

(1)の証明

明らかに、0≦k≦n−1=(z−1)/(z−1) である。( ただし z≠1 )

よって、z−1=(z−1)0≦k≦n−1 である。

z/α ( α≠0 ) を z に代入すると、z−α=(z−α)0≦k≦n−1αn−k−1 である。

よって、



つまり、z 上で正則であり、(z)’=nzn−1 である。

(2)の証明

いま、e=ex+iy=e(cosy+isiny)=ecosy+iesiny である。

u=ecosy、v=esiny とおく。

いま、u=ecosy、u=−ecosy、v=esiny、v=ecosy である。

よって、u=v かつ v=−u である。

よって、f(z)=e は正則である。(※B12:正則⇔CR)

また、f’(z)=u+iv=ecosy+iesiny=e である。(※B12:正則⇔CR)

つまり、(e)’=e である。

(3)の証明

(2)、定義(複素三角関数)より、

(4)の証明

(2)、定義(複素三角関数)より、

(5)の証明

z=x+iy∈−(−∞、0] とおく。

次のように表される。(※A16)



一方、次の関数を定義する。



x>0、y∈−{0}の場合、v(x、y)=tan−1(y/x)である。

x<0、y>0 の場合、v(x、y)=π+tan−1(y/x)である。

x<0、y<0 の場合、v(x、y)=−π+tan−1(y/x)である。

x=0、y>0 の場合、v(x、y)=π/2 である。

x=0、y<0 の場合、v(x、y)=−π/2 である。

明らかに、u、v は −(−∞、0] 上で連続微分可能である。

また、次が成り立つ。



よって、u=v、u=−v である。

つまり、CR方程式が成り立つ。

よって、Logz は −(−∞、0] 上で正則である。(※B12)

また、

B14

D を領域とする。(重要!)

f:D→ を正則関数とする。

f(D)⊂ であるとする。

このとき、f は定値関数である。

証明

f=u+iv とおく。

仮定より、D 上 で v=0 である。

よって、u=0、u=0 である。(※B12)

いま、D は領域である。

よって、ある定数 c∈ が存在して、D上で u(x、y)=c となる。(★)

よって、D上で f(z)=c である。

(★)について補足

これは D が領域でなければ成り立たない。

B15

D を領域とする。(重要!)

f:D→ を正則関数とする。

任意の z∈D に対し、f’(z)=0 であるとする。

このとき、f は D 上で定値関数である。

証明

いま、u=v=0、u=v=0 である。(※B12)

また、D は領域である。

よって、ある c、c が存在して、u(x、y)=c、v(x、y)=c (x+iy∈D)となる。

ここで、c=c+ic とおく。

いま、D上で f(z)=c である。

B16

D を領域とする。(重要!)

f、g:D→ を正則関数とする。

任意の z∈D に対し、f’(z)=g’(z)であるとする。

このとき、ある c∈ が存在して、任意の z∈D に対し、f(z)=g(z)+c となる。

証明

F=f−g とおく。

いま、F は D 上で正則である。

また、任意の z∈D に対し、F’(z)=0 である。

よって、ある点 c∈ が存在して、任意の z∈D に対し、F(z)=c となる。(※B15)

よって、任意の z∈D に対し、f(z)=g(z)+c である。

B17

D を領域とする。(!)

f:D→ を正則関数とする。

|f(z)|が D 上で定値関数であるとする。

このとき、f(z)も D 上で定値関数である。

証明

|f(z)|=c (z∈D) とおく。

c=0 の場合、定理が成り立つことは明らかである。

c≠0 の場合を考える。

f=u+iv とおく。

いま、u+v=c、c≠0 である。

そこで、両辺を x、y で偏微分すると、

(*1) uu+vv=0

(*2) uu+vv=0

いま、(*2)は −vu+uv=0 と同値である。(※B12)

よって、(*1)より、v(u+v)=0、u(u+v)=0 である。

よって、u=0、v=0 である。

よって、D上で f’(z)=0 である。(※B12)

よって、f(x)は D 上で定値である。(※B15)

参考 ( CR方程式は簡単に導ける )

このページでは 『 コーシー・リーマン方程式 』 を示した。

これは非常に重要である。

もしかしたら、

「 あれ?コーシー・リーマン方程式ってどんな式だっけ?忘れてしまった 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

しかし、コーシー・リーマン方程式を丸暗記する必要はない。

実際、これは簡単に導ける。

f を正則関数とする。

いま、f は任意の方向に対して同じ微分係数をもつ。

つまり、y 軸方向の微分を −π/2 回転させると、これは x 軸方向の微分と一致する。

よって、



つまり、



実部と虚部を比較すると、



このように、コーシー・リーマン方程式が導かれる。

むろん、この議論は既に扱った。(※B12)

参考 ( 表記の変更 )

次のように定義する。



すると、∂f/∂z=f’である。(※B12)

つまり、∂f/∂z=df/dz である。

また、∂f/∂=0 である。(※B12)

これは CR 方程式の書き換えである。