線積分の定義(区分求積ver)

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参考

線積分の定義は主に次の2通りである。

(1) 区分求積による定義

(2) 置換積分による定義

このページでは、区分求積で線積分を定義する。

参考

次の用語はいずれも同じ意味である。

(1) C 級な曲線

(2) 連続微分可能な曲線

(3) 滑らかな曲線

多変数実数値関数の場合、C 級は偏微分可能性と導関数の連続性を意味する。

しかし、曲線は1変数なので、偏微分の意味が消えて、単に微分可能性と導関数の連続性を意味する。

「 滑らかな曲線 」 を 「 C級曲線 」 の意味が用いている参考書もある。

定義 ( 線積分〜区分求積ver )

f:D→ を複素関数とする。

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

Γ⊂D であるとする。( つまり、Γ は D 内の曲線である )

Δ : a=t<t<・・・<t=b を [a、b] の分割とする。

η∈[t、tk+1] とおく。

次のように定める。



このとき、S を 『 リーマン和 』 という。

分割を限りなく細かくしたとき、リーマン和 S が、ある値に収束するとする。(★)

このとき、その値を下のように表す。



これを 『 Γに沿う f(z) の線積分 』 という。

(★)について補足

より正確に言えば、分割の最大幅が限りなく小さくなるように細かくとるという意味である。

これを limS と表すことも多い。

定義(線積分)は定義(曲線の積分)に基づいていることに注意しよう。

C7 ( 曲線が C級ならば、線積分は存在する )

f:D→ を複素関数とする。

Γ:[a、b]→ を C 級曲線とする。

Γ⊂D であるとする。( つまり、Γ は D 内の曲線である )

このとき、∫Γf(z)dz は存在して、次が成り立つ。

補足

むろん、区分的に C 級である場合も成り立つ。

補足

これは 『 置換積分 』 である。

最初からこれを線積分の定義として採用している参考書も多い。

証明

Γ(t)=X(t)+iY(t) とおく。( つまり、X=ReΓ、Y=ImΓである )

いま、X と Y は C 級である。

よって、ある p、q∈[t、tk+1] が存在して、次を満たす。(※平均値の定理)

(*1) X(tk+1)−X(t)=X’(p)(tk+1−t

(*2) Y(tk+1)−Y(t)=Y’(q)(tk+1−t

S を、∫Γf(z)dz に対応するリーマン和とする。

T を、∫Γf(Γ(t))Γ’(t)dt に対応するリーマン和とする。

(*1)、(*2)より、S=0≦k≦n−1f(Γ(η))(X’(p)+iY’(q))(tk+1−t) である。

一方、T=0≦k≦n−1f(Γ(η))(X’(η)+iY’(η))(tk+1−t) である。

いま、f(Γ(t)) は [a、b] 上で連続である。

よく知られているように、有界閉区間上の連続関数は最大値・最小値をもつ。

つまり、f(Γ(t))は有界である。

つまり、ある定数 M が存在して、任意の t∈[a、b] に対して f(Γ(t))≦M である。

一方、いま、X’(t) は [a、b] 上で連続である。

よく知られているように、有界閉区間上の連続関数は一様連続である。

よって、X’(t) は一様連続である。

つまり、次が成り立つ。

(*) 任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、|s−t|<δ ⇒ |X’(s)−X’(s)|<ε となる。

Y’(t) についても同様である。

そこで、[a、b] の分割を十分細かくして、max0≦t≦1(t−tk−1)<δ とする。

いま、|p−η|<δ であり、|q−η|<δ である。

よって、|X’(p)−X’(η)|<εであり、|Y’(q)−Y’(η)|<εである。

以上により、



つまり、lim|S−T|=0 である。