曲線の長さ

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C5

Γ:[t、t]→ を C 級な曲線とする。

任意の t∈[t、t] に対し、ある o(t、δ)∈ が存在して、次を満たす。

証明

そのまま、o(t、δ)=Γ(t+δ)−Γ(t)−Γ’(t)δとおけばよい。

明らかに、limδ→0o(t、δ)/δ=0 となる。

定義 ( 曲線の長さ )

Γ:[a、b]→ を C 級な曲線とする。

a=t< t <・・・< t=b とおき、[a、b] を n 個の区間に分割する。

ただし、次が成り立つように分割する。



Γ上の点 Γ(t)、Γ(t)、・・・、Γ(t)を順番に結び、折れ線を構成する。

この折れ線の長さは L1≦i≦n|Γ(t)−Γ(t i−1)|である。

n を十分大きくとれば、L は曲線Γの長さの近似値になると予想される。(★)

また、次が成り立つ。(※C5)



よって、



よって、次のことが予想される。(※定義:リーマン積分)



そこで、次のように定義する。



L(Γ)を 『 Γの長さ 』 という。

次のように書いても意味は同じである。(※C3)

(★)について補足

「 予想される 」 という表現を曖昧に感じる読者がいるかもしれない。

ここでこのような表現を用いた理由は、そもそも曲線の長さを定義していないことによる。

日常的に、曲線の長さという言葉は用いられる。

ゆえに、私たちは曲線の長さを知っていると思いがちである。

しかし、冷静に考えてみると、曲線の長さとは何なのか?

これは難しい問題である。

けれども、人間は直感的に曲線の長さというものがあるだろうと予想する。

そして、それは limn→∞ であろうと予想するのである。

補足

簡単のため で考えてみよう。

いま、折れ線の長さは L1≦i≦n|Γ(t)−Γ(t i−1)|である。

Γ(t)=(x(t)、y(t))とおく。

いま、ある定数 c、d∈(t、ti+1)が存在して、次を満たす。(※平均値の定理)



よって、



よって、

参考 ( 具体例 )

次のような曲線Γを考える。



明らかに、Γ(t)は C 級である。

また、



よって、



つまり、これは円周の長さを意味する。

n=1の場合も、n>1の場合も曲線Γは円である。

n=1の場合は曲線の長さが円周と一致している。

しかし、n>1の場合は一致しない。

これは曲線 C の値が重複していることによる。

C6 ( 同値な C 級な曲線の長さは等しい )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

h:[s、s]→[t、t] を C 級な全単射とする。

このとき、L(Γ)=L(Γ*h)である。

証明

(Γ*h)’(s)=Γ’(h(s))h’(s)である。(※合成関数の微分法)

よって、



いま、h は全単射である。

よって、次の(1)、(2)の場合が考えられる。

(1) 任意の s∈[s、s] に対し、h’(s)>0 である。

(2) 任意の s∈[s、s] に対し、h’(s)<0 である。

いずれにしても同様に議論できる。

ここで、t=h(s)とおく。

すると、

定義 ( 区分的に C 級な曲線の長さ )

Γを区分的に C 級な曲線とする。

いま、 C 級な曲線Γ、・・・、Γ が存在して、Γ=Γ・・・Γ となる。

そこで、Γの長さを次のように定義する。