曲線の微分

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定義 ( 曲線の微分 )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

a∈[t、t] に対し、次の極限が存在するとする。



このとき、『 Γ は a において微分可能である 』 という。

また、極限(*)を Γ’(a) と表す。

定義 ( 曲線の導関数 )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

任意の t∈[t、t] に対し、Γ は微分可能であるとする。

このとき、『 Γ は [t、t] 上で微分可能である 』 という。

定義 ( C級 )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

Γ’が [t、t] 上で連続であるとする。

このとき、『 Γ は [t、t] 上で C級である 』 という。

C3

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

Γ は [t、t] 上で C 級であるとする。

Γ(t)=X(t)+ iY(t)とする。

このとき、任意の t∈[t、t] に対し、Γ’(t)=X’(t)+iY’(t)である。

証明

明らかである。

C4

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

Γ は [t、t] 上で C 級であるとする。

任意の t∈[t、t] に対し、Γ’(t)=0 であるとする。

このとき、ある定数 c∈ が存在して、任意の t∈[t、t] に対し、Γ(t)=c となる。

証明

いま、X’(t)=0、Y’(t)=0 である。(※C3)

よって、ある定数 c、c が存在して、X(t)=c、Y(t)=c である。

ここで、c=c+ic とおく。

いま、Γ(t)=c である。

定義 ( C 級な曲線の向き )

Γ、Γ:[t、t]→ を C 級な曲線とする。

ある C 級な写像 h:[s、s]→[t、t] が存在して、次を満たすとする。

(1) h(s)=t、h(s)=t

(2) h は狭義単調増加である。

(3) Γ=Γ*h

このとき、『 Γ と Γ は同値である 』 という。

また、h−1:[t、t]→[s、s] も C 級である、(※逆関数定理)

また、次の(4)〜(6)も成り立つ。

(4) h−1(t)=s、h−1(t)=s

(5) h−1 は狭義単調増加である。

(6) Γ=Γ*h−1

定義 ( 区分的に C 級 )

Γ を曲線とする。

ある有限個の C 級な曲線 Γ、・・・、Γ が存在して、Γ=Γ・・・Γ となるとする。

このとき、「 Γ は区分的に C 級である 」 という。