曲線の積分は重心に定義域の長さを掛けたものである

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参考 ( 曲線の積分は重心に定義域の長さを掛けたものである )

u:[a、b]→ を1変数実数値関数とする。

よく知られているように、その積分は次式によって定義される。



( 厳密には上限下限によって定義されるが、ここでは上記の定義で十分である )

上式の右辺は、分点の平均値に [a、b] の長さを掛けたものであると見なせる。

では、曲線の積分はどうだろう?

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

Γ=u+iv とおく。( つまり、u=ReΓ、v=ImΓ である )

いま、



既に述べたように、実積分は分点の平均に [a、b] の長さを掛けたものである。

よって、上記の積分は、Γの重心と見なせる。

このことを確認してみよう。

まず、複素平面上の点 z、・・・、z の重心は (z、・・・、z)/n と表せる。

よって、[a、b] の分点 a+k(b−a)/n に対応する 上の重心 G は、



よって、

参考 ( 正則関数の平均値の定理 )

f を、|z−α|≦r を含む領域で正則な関数とする。

このとき、

補足

むろん、これは参考(曲線の積分は重心に定義域の長さを掛けたものである)で述べたことに一致する。

証明

この定理はコーシーの積分公式の特別な場合である。

これを確認しよう。

ζ=α+reiθ とおく。

いま、dζ/dθ=ireiθ=i(ζ−α)である。

よって、



これはコーシーの積分公式の n=1 の場合である。