複素対数関数

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定義 ( 多価関数 )

1つの変数に対して n 個の値が対応するとき、このような関数を 『 n価関数 』 という。

n≧2 である場合を総称して 『 多価関数 』 という。

とくに、無限個の値が対応するとき、『 無限多価関数 』 という。

復習 ( exp )

z=x+iy を複素数とする。

写像 exp を次のように定義する。



exp(z)を略して e と表す。

つまり、

定義 ( 対数 )

z∈−{0}とおく。

=z を満たす w∈ を 『 z の対数 』 といい、次のように表す。

A15

次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

A16 ( 複素対数を実対数で表す )

z=reiθ を複素数とする。

このとき、z の対数は次のように表せる。



( ただし、log r は実対数関数を表すものとする。)

また、次の Log z を 『 log z の主値 』 という。



とくに、この θ を Argz と表す。

補足

ここでは −π≦θ<π で Argz を定めたが、これを 0≦θ<2π で定めている参考書もある。

補足

つまり、z の対数には無数の複素関数が付く。

よって、複素対数関数は無限多価関数である。

(*)の証明

logz=u+iv とおく。

いま、z=elogz=eu+iv=e(cosv+isinv) である。(※A15、定義:exp)

また、z=reiθ=r(cosθ+isinθ) である。(※A9:オイラーの公式〜その1)

よって、|z|=r=e、v=θ+2nπ である。

r=e の両辺について log をとると、logr=u となる。(※A15)

以上により、logz=logr+i(θ+2nπ) である。

補足

log z の式に注目すると、虚部には n が含まれている。

つまり、1つの z に対して無限個の値が対応する。

例えば、θ=0 の様子を図示すると、



ここで、z 平面上の点 z についてθを 0 から 2π まで変化させると、

A17

、z を複素数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

=log z、w=log z とおく。

いま、z=e、z=e である。(※A15(2))

よって、z=e・e=e+w である。

よって、w+w=logz である。(※A15(1))

よって、logz+logz =logz である。

(2)の証明

(1)と同様に証明できる。

定義 ( 複素逆三角関数 )

次のように定義する。

A18

次が成り立つ。

証明

w=cos−1z とおく。

定義(複素逆三角関数)と定義(複素三角関数)より、



式変形すると、



よって、



定義(対数)より、



よって、



(2)、(3)についても同様に証明できる。

注意 ( 実対数と複素対数の区別 )

log が実対数である場合、log1=0 である。

log を複素対数である場合、log1=0 ではない。

実際、log1=log(1・ei0)=log1+i(0+2nπ)=0+i2nπ=2nπi である。(※A16)

ただし、上式の途中に出てくる log1は実対数なので log1=0 としてよい。

参考 ( 複素対数では成り立たない式〜その1 )

次の等式は必ずしも成り立たない。

つまり、左辺の値の集合と右辺の値の集合が一致するとは限らない。

(1)について

反例を紹介しよう。

まず、A16より、



一方、



以上により、

(2)について

定義(exp)より、



A16より、



よって、



よって、(2)が一般には成り立たないことが分かる。

参考 ( 複素対数では成り立たない式〜その2 )

次の(1)は成り立つが、(2)は一般には成り立たない。



とくに、(2)が成り立つのは、−π<arg z+arg z≦π の場合のみである。

(1)が成り立つことは既に示した。(※A17)

例えば、z=−i、z=−i としてみよう。

A16より、



一方、再びA16より、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ところが、





よって、

参考

以上では、複素対数関数を紹介した。

さらに、次のような複素関数を考えることもできる。

(1) 複素数の n 乗根

(2) 複素べき関数

(3) 複素数を底とする指数関数

例えば、(1)は w=z1/3 などである。

また、(2)は w=zα である。

また、(3)は w=α である。

これらは初等的な複素解析の書物にも普通に掲載されていることが多い。

しかし、話が複雑になる上に、以降では使用しないので省略する。

ただし、このサイトでは 『 自然数を指数とする複素数 』 や 『 e を底とする指数関数 』 は既に扱った。

つまり、w=z や w=e は扱った。

これらを混同しないように注意。