リーマン球面

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定義 ( 反転 )

f(z)=1/z ( z≠0 ) を複素関数とする。

このような f を 『 反転 』 という。

z 平面と w 平面の各領域の対応関係を図示すると、

補足

上図で色分けされたような対応が成り立つことを確認しよう。

z と w を極形式で次のように表す。



いま、



よって、R=1/r 、φ=−θであるから、



これは図の色分けで示された通りである。

定義 ( リーマン球面 )

上の定義(反転)では、原点 0 が対応関係の中に含まれていなかった。

なぜなら、f(z)=1/z では z≠0 を仮定しているからだ。

この不足分を補うために、『 リーマン球面 』 というものを考える。

複素平面に垂直な線分NSを考え、点Sを複素平面の原点に一致させる。

そして、このNSを直径とする球面を 『 リーマン球面 』 という。



『 複素平面上の点 z と N を結ぶ直線 』 と 『 リーマン球面 』 との交点を z’とする。

このとき、|z|→ ∞ とすると、z’は点 N へと近づく。

そこで、点 N と対応する複素平面上の点を 『 無限遠点 』 といい、『 ∞ 』 と表す。

つまり、複素平面において 『 無限の彼方に広がる領域 』 と 『 1つの点 』 を対応させる。



無限遠点が追加された複素平面のことを 『 拡張複素平面 』 という。

リーマン球面と拡張複素平面上の点は全て1対1で対応していることが分かる。

こうして、次の対応関係をつくることができる。



つまり、z=∞ と w=0 を対応させ、z=0 と w=∞ を対応させたのである。

これにより、定義(反転)では空白になっていた原点についても対応関係を考えることができる。