留数定理(極、位数)

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注意

単純閉曲線 Γ の内部を Γint と表す。

つまり、Γint は閉曲線Γによって囲われた領域を意味する。

参考

次の用語はいずれも同じ意味である。

(1) C 級な曲線

(2) 連続微分可能な曲線

(3) 滑らかな曲線

多変数実数値関数の場合、C 級は偏微分可能性と導関数の連続性を意味する。

しかし、曲線は1変数なので、偏微分の意味が消えて、単に微分可能性と導関数の連続性を意味する。

「 滑らかな曲線 」 を 「 C級曲線 」 の意味が用いている参考書もある。

定義 ( 留数 )

a∈ とおく。

={ z∈|0<|z−a|<R } とおく。

f:D を正則関数とする。

( つまり、a は f 定義域に属していなくてもよい )

Γを区分的に C 級な単純閉曲線とする。

Γ⊂D とし、a∈Γint とする。

このとき、積分値∫Γf(z)dz は単純閉曲線Γに依存しない。(★)

つまり、これは f と a のみから定まる量である。

そこで、次のように定義する。



これを 『 f(z)の z=a における留数 』 という。

(★)の証明

Γ、Γ を、定理の条件を満たす単純閉曲線とする。

C(t)=a+reit (0≦t≦2π) とおく。

r を十分小とすると、Cint⊂(Γint かつ Cint⊂(Γint となる。

いま、∫Γfdz=∫fdz=∫Γfdz である。(※D3)

D13

f:D→ を複素関数とする。

a∈D とする。

f は a において正則であるとする。

このとき、Res(a、f)=0 である。

証明

明らかである。(※D1:コーシーの積分定理)

定義 ( 極、位数 )

a∈ とおく。

={ z∈ : 0<|z−a|<R } とおく。

={ z∈ :|z−a|<R } とおく。

f:D→ を複素関数とする。

⊂D とする。

a は D に属していないとする。(!)

f は D 上で正則であるとする。

あるδ∈(0、R)、n∈ と E 上で正則な複素関数 g が存在して、次を満たすとする。



このとき、a を 『 f の極 』 という。

n を 『 a の位数 』 という。

また、「 f は a に n 位の極をもつ 」 という。

定義

F を複素関数とする。

このとき、次のように記号を定義する。



あるいは次のように書くこともある。

初めから F(a) と書けば、上のような記号は不要であるように思えるかもしれない。

しかし、式が複雑な場合には有用である。

D14 ( 留数の公式 )

a∈ とおく。

={ z∈|0<|z−a|<R } とおく。

f:D→ を複素関数とする。

⊂D とする。

a は D に属していないとする。(!)

f は D 上で正則であるとする。

f は a に n 位の極をもつとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

h(z)=(z−a)f(z)とおく。

Γ(t)=a+εeit (0≦t≦2π)とし、ε>0 は十分小であるとする。

いま、



一方、次が成り立つ。(※D12:グルサの公式)



よって、(*1)と(*2)より、



よって、

D15 ( 留数定理 )

f:D→ を正則関数とする。( D は領域であるとする )

Γを区分的に C 級な単純閉曲線とする。

Γ⊂D とする。

f は z、・・・、z∈Γint に極をもつとする。

Γint−{z、・・・、z}⊂D とする。

このとき、

証明

Γ(t)=z+εeit (0≦t≦2π)とし、εは十分に小であるとする。

いま、次が成り立つ。(※D3)

注意

n∈ とおく。

明らかに、f(z)=1/(z−a) は点 a 以外で正則である。(※B9、B14(2))

この関係は非常によく用いられる。

この関係は以下で積極的に用いる。

例題

次のような関数についてその極と位数を求めよ。

(1)の解答

g(z)=3z とおく。

いま、g(z)は z=5 において正則である。

また、g(5)≠0 である。

よって、点 z=5 は f(z)の 2 位の極である。

(2)の解答

g(z)=z とおく。

いま、g(z)は z=i において正則である。

また、g(i)≠0 である。

よって、点 z=i は f(z)の1位の極である。

(3)の解答

g(z)=1/(z−2) とおく。

いま、g(z)は z=3 において正則である。

また、g(3)≠0 である。

よって、点 z=3 は f(z)の1位の極である。

h(z)=1/(z−3)とおく。

いま、h(z)は z=2 において正則である。

また、h(2)≠0 である。

よって、点 z=2 は f(z)の3位の極である。

(4)の解答

式変形すると、



よって、(1)〜(3)と同様に、z=3、−3、1がそれぞれ f(z)の1位の極である。

例題

次の線積分を計算せよ。

(1)の解答

分母を因数分解すると、



よって、f(z)は z=−1、1 において特異点をもつ。

しかも、この特異点はΓの内部に含まれている。

そこで、2点 z=−1、1 を中心とする小円を考え、それぞれ Γ、Γ とする。



いま、図の灰色部分では、f(z)は正則である。

よって、次のように計算できる。(※D3、D4)

(2)の解答

点 0 はΓの内部にある。

f(z)=sinz はΓの内部で正則である。

f’(z)=cosz である。

D12(グルサの公式)より、

(3)の解答

f(z)=z/(z−i)とおく。

f が円Γの内部にもつ極は z=i である。

z=i は1位の極である。

よって、D22(留数の公式)より、



よって、D23(留数定理)より、

補足

むろん、コーシーの積分定理、コーシーの積分公式、留数定理のどれを用いても同じ答えが出る。

例えば、(1)の計算を留数定理を用いて計算することも簡単であろう。