曲線の向き

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C1 ( 曲線の連続性 ⇔ 成分の連続性 )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

Γ(t)=X(t)+iY(t)とおく。( つまり、X=ReΓ、Y=ImΓである )

このとき、X と Y は [a、b]上の連続関数である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、X、Y を[a、b]上の実数値連続関数とする。

Γ(t)=X(t)+iY(t)と定義する。

このとき、Γ(t)は における曲線である。(★2)

(★1)の証明

η∈[a、b]とおく。

いま、|X(t)−X(η)|≦|Γ(t)−Γ(η)|→0 ( t→η ) である。

また、|Y(t)−Y(η)|≦|Γ(t)−Γ(η)|→0 ( t→η ) である。

つまり、limt→ηX(t)=X(η)、limt→ηY(t)=Y(η) である。

(★2)の証明

η∈[a、b]とおく。

いま、|Γ(t)−Γ(η)|≦|X(t)−X(η)|+|Y(t)−Y(η)|→0 ( t→η ) である。

つまり、limt→ηΓ(t)=Γ(η)である。

定義 ( 曲線の向き )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

h:[s、s]→[t、t] を全単射な連続写像とする。

このとき、次の(1)または(2)が成り立つ。

(1) h(s)=t、h(s)=t かつ h は狭義単調増加である。

(2) h(s)=t、h(s)=t かつ h は狭義単調減少である。

( 証明は微分積分学参照。ただし、これは直観的にも明らかであろう )

ここで、h と Γ の合成写像 Γ*h を考える。

いま、(1)と(2)いずれにしても Γ[t、t]=(Γ*h)[s、s] が成り立つ。

(1)の場合、『 Γ と Γ*h は同じ向きをもつ 』 という。

(2)の場合、『 Γ と Γ*h は逆の向きをもつ 』 という。

また、Γ と逆向きの曲線を −Γ と表す。

Γ と Γ*h が同じ向きであることを 『 Γ と Γ*h は同値である 』 という場合もある。

定義 ( Γ と Γ の同値性 )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

Γ:[s、s]→ を曲線とする。

ある全単射な連続写像 h:[s、s]→[t、t]が存在して、次の(1)〜(3)を満たすとする。

(1) h(s)=t、h(s)=t

(2) h は狭義単調増加

(3) Γ=Γ*h

このとき、『 Γ と Γ は同値である 』 という。

このとき、逆写像 h−1:[t、t]→[s、s] も連続である。

また、次の(4)〜(6)が成り立つ。

(4) h−1(t)=s、h−1(t)=s

(5) h−1 は狭義単調増加

(6) Γ=Γ*h−1

(4)〜(6)の証明は省略する。

詳しく知りたい人は、微分積分の書物などを参照。

ただし、これは直観的に明らかであろう。

(4)〜(6)によって、曲線の同値性が同値関係であることが分かる。

同値関係については集合論を参照。

ただし、知らなくても以降の理解に大きな影響はない。

C2 ( 逆向きな曲線の例 )

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

次のように定める。



このとき、−Γ は Γ と逆向きの曲線である。

証明

次のように定める。



いま、h は定義(曲線の向き)の(2)を満たす。

よって、−Γ と Γ は逆向きである。