完備性〜その1、〜その2、〜その3

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定義 ( コーシー列 )

(X、d)を距離空間とする。

(xn∈ を X の点列とする。

次が成り立つとする。

(*) 任意のε>0 に対し、ある自然数 N が存在して、「 m、n≧N ⇒ d(x、x)<ε」 となる。

このとき、(xn∈ を 『 コーシー列 』 という。

条件(*)を次のように表してもよい。

(**) 任意のε>0 に対し、ある自然数 N が存在して、「 m>n≧N ⇒ d(x、x)<ε」 となる。

定義 ( 完備性〜その1 )

(X、d)を距離空間とする。

X における任意のコーシー列が収束するとする。

このとき、「 X は d に関して完備である 」 という。

定義 ( 完備性〜その2 )

V をノルム空間とする。

既に示したように、ノルム空間には自然に距離が入る。

V はこの距離に関して完備であるとする。

このとき、「 V は ||・|| に関して完備である 」 という。

定義 ( 完備性〜その3 )

V を内積空間とする。

既に示したように、内積空間には自然に距離が入る。

V はこの距離に関して完備であるとする。

このとき、「 V はこの内積に関して完備である 」 という。

注意 ( 部分列 )

(xn∈ を点列とする。

ρ: を順序を保つ写像とする。( つまり、n<n ならば ρ(n)<ρ(n)である )

このとき、(xρ(n)n∈ を 『(xn∈ の部分列 』 という。

B1 ( ノルム空間において、コーシー列の部分列が収束するならば元の数列も収束する )

V を K 上のノルム空間とする。

(vn∈ を V のコーシー列とする。

(vρ(n)n∈ を (vn∈ の部分列とする。

ある v∈V が存在して、limn→∞ρ(n)=v であるとする。

このとき、limn→∞=v である。

証明

いま、(vn∈ はコーシー列である。

よって、k を十分大とすると、|| v−vρ(k) ||<ε/2 となる。

一方、いま、limn→∞ρ(n)=v である。

よって、k を十分大とすると、|| vρ(k)−v ||<ε/2 となる。

以上により、k を十分大とすると、|| v−v ||≦|| v−vρ(k) ||+|| vρ(k)−v ||<εである。

よって、limn→∞=v である。

B2 ( 完備性⇔「点列を結ぶ折れ線の長さが有限ならば収束する」 )

V を K 上のノルム空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) V は完備である。

(2) 1≦n≦∞|| vn+1−v ||<∞ ならば (vn∈⊂V は収束する。

証明

(1)を仮定する。

1≦m<n<∞ とする。

いま、



よって、(vn∈ はコーシー列である。

よって、(vn∈ は収束する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

(vn∈ を V のコーシー列とする。

写像ρ: を次が成り立つように定める。



いま、1≦n≦∞|| vρ(n+1)−vρ(n) ||≦1<∞ である。

よって、仮定より、(vρ(n)n∈ は収束する。

よって、(vn∈ は収束する。(※B1)