バナッハ空間におけるコンパクト作用素の固有空間は有限次元

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定義 ( コンパクト )

X、Y をバナッハ空間とする。

T:X→Y を作用素とする。

任意の有界集合 M⊂X に対し、T(M)がコンパクトであるとする。

このとき、「 T はコンパクトである 」 という。

F11

X、Y をバナッハ空間とする。

T:X→Y を作用素とする。

このとき、次は同値である。

(1) T はコンパクトである。

(2) 任意の有界点列 (xn∈⊂V に対し、ある部分列 xρ(n) が存在して Txρ(n) は収束する。

証明

ノルム空間においてコンパクト性と点列コンパクト性は同値である。

よって、(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

M を X の有界集合とする。

(yn∈T(M) とする。

いま、ある点列 (xn∈⊂M が存在して、|| y−Tx ||<1/n となる。

また、(xn∈ は有界である。

よって、ある部分列 xρ(n) が存在して、Txρ(n) は収束する。

そこで、limn→∞Txρ(n)=y とおく。

いま、y∈T(M) である。

また、|| yρ(n)−y ||≦|| yρ(n)−Txρ(n) ||+|| Txρ(n)−y ||→0 ( n→∞ ) である。

よって、limn→∞ρ(n)=y である。

よって、T(M) は点列コンパクトである。

F12

X、Y をバナッハ空間とする。

T:X→Y をコンパクト作用素とする。

このとき、T は有界である。

証明

明らかである。(※定義:作用素の有界性)

F13

X、Y をバナッハ空間とする。

T∈B(X、Y)とおく。

R(T)は有限次元であるとする。

このとき、T はコンパクトである。

証明

M を X の有界集合とする。

いま、T(M) は R(T) の有界集合である。

よって、T(M) は R(T) のコンパクト集合である。(※F10)

つまり、T(M) は W のコンパクト集合である。

よって、T はコンパクトである。

F14

X をバナッハ空間とする。

I;X→X を恒等作用素とする。

このとき、次は同値である。

(1) X は有限次元

(2) I はコンパクトである。

証明

明らかである。(※F10)

F15

X、Y をバナッハ空間とする。

S、T:X→Y をコンパクト作用素とする。

α、β∈K とおく。

このとき、αS+βT:X→Y もコンパクトである。

証明

(xn∈ を X の有界点列とする。

いま、ある部分列 xρ(n) が存在して、Sxρ(n) は W で収束する。(※F11)

さらに、ある部分列 xμ(ρ(n)) が存在して、Txμ(ρ(n)) が Y で収束する。(※F11)

いま、(αS+βT)(xμ(ρ(n)))は W で収束する。

よって、αS+βT はコンパクトである。

F16

X をバナッハ空間とする。

T:X→X をコンパクト作用素とする。

λ(≠0) を T の固有値とする。

W(λ)をλに属する固有空間とする。

このとき、W(λ)は V の有限次元部分空間である。

証明

いま、W(λ)={ x∈X|(T−λI)x=0 } である。

また、T−λI は連続かつ線形である。

よって、W(λ)=Ker(T−λI) は閉部分空間である。(※C6、F12)

T を W(λ) 上に制限する。

W(λ)上で、I は λ−1T に等しい。

また、λ−1T はコンパクトである。

よって、W(λ)は有限次元である。(※F14)