バナッハ空間におけるコンパクト作用素の固有値は高々可算

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F17

X をバナッハ空間とする。

T:X→X を作用素とする。

λ、・・・、λ を T の相異なる固有値とする。

を λ の固有ベクトルとする。

このとき、x、・・・、x は1次独立である。

証明

n=1 の場合、定理が成り立つことは明らかである。

n−1の場合について定理が成り立つと仮定する。

、・・・、x は1次独立でないと仮定する。(背理法)

、・・・、xn−1 が1次独立であると仮定しても一般性を失わない。

いま、x=c+・・・+cn−1n−1 と表せる。

また、Tx=λ ( k=1、・・・、n ) である。

よって、



よって、c(λ−λ)=0、・・・、cn−1(λn−1−λ)=0 である。

よって、c=0、・・・、cn−1=0 である。

よって、x=0 である。

これは x が固有ベクトルであることに反する。

F18

X をバナッハ空間とする。

T:X→X をコンパクト作用素とする。

S を T の固有値全体とする。

このとき、次のいずれか一方が成り立つ。

(1) S は有限集合である。

(2) S は 0 のみを集積点としてもつ可算集合である。

証明

λ∈S とおく。

λ≠0 であるとして、λ は S の集積点であるとする。(背理法)

いま、ある(λn∈⊂S が存在して、λ≠0、limn→∞λ=λとなる。

λ はすべて異なると仮定して一般性を失わない。

をλに属する固有ベクトルとする。

いま、{ x、x、・・・ } は1次独立である。(※F17)

=span(x、・・・、x)とおく。

いま、F<F<・・・であり、Fn−1 は F の閉部分空間である。

よって、ある点列 (yn∈⊂V が存在して、次を満たす。(※F9)

(*1) y∈F

(*2) || y ||=1

(*3) d(y、Fn−1)=infy∈Fn−1 || yn−1−y ||≧1/2

いま、(*1)と(*2)より、(yn∈ は V の有界点列とする。

また、y=c+・・・+c と表せる。

よって、Ty=cλ+・・・+cλ∈F である。

よって、Ty−λ=c(λ−λ)x+・・・+cn−1(λn−1−λ)xn−1∈Fn−1

m<n とする。

z=Ty−(Ty−λ)とおく。

いま、Ty∈F⊂Fn−1 である。

また、Ty−λ∈Fn−1 である。

よって、z∈Fn−1 である。

n を十分大きくとると、|λ|>|λ|/2 である。

よって、(*3)より、次が成り立つ。

(*4) || Ty−Ty ||=|| λ−z ||=|λ||| y−λ−1z ||≧|λ|d(y、Fn−1)>|λ|/4

よって、(Tyn∈ は収束部分列をもたない。

これは T のコンパクト性に反する。

以上により、S は 0 以外の集積点をもたない。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

を、|λ|≧1/n を満たす λ∈S 全体とする。

いま、S⊂(∪1≦n≦∞)∪{0}である。

また、S は K の有界集合である。(※F2)

は無限集合であると仮定する。(背理法)

いま、S は 0 と異なる集積点をもつ。

これは(★)に矛盾する。

よって、S は有限集合である。

よって、S は有限集合または可算集合である。