一様有界性定理→バナッハ・シュタインハウスの定理

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D5

V をバナッハ空間とする。

W をノルム空間とする。

M を B(V、W) の部分集合とする。

任意の x∈V に対して supT∈M|| Tx ||<∞ であるとする。(★)

このとき、supT∈M|| T ||<∞ である。

補足

むろん、supT∈M|| T ||<∞ ⇒ supT∈M|| Tx ||<∞ である。(※ || Tx ||≦|| T |||| x || )

今回の定義は、これの逆が成り立つことを意味している。

ただし、V が完備でない場合、この定理は一般には成り立たない。

証明

={ x∈V : || Tx ||≦n、T∈M } とおく。

いま、V=∩T∈M{ x∈V : || Tx ||≦n } である。

また、各 T∈M は連続である。(※C2)

よって、{ x∈V : || Tx ||≦n } は V の閉集合である。

よって、V は閉集合である。

仮定(★)より、V=∪1≦n≦∞ である。

いま、V はバナッハ空間とする。

よって、V のうち、少なくとも1つは内点をもつ。(※D4:ベールの定理)

つまり、ある V は内点 x をもつ。

いま、開球 S(x、ε) が存在して、S(x、ε)⊂V となる。

つまり、|| x ||<ε⇒ x±x∈V である。

よって、任意の T∈M に対し、|| x ||<ε ⇒ || T(x±x) ||≦N である。

よって、|| x ||<εならば、任意の T∈M に対し、次が成り立つ。



つまり、|| x ||<ε ⇒ || Tx ||≦N である。

任意の x≠0 に対し、2−1εx/|| x || とおく。

いま、そのノルムは ε/2 (<ε) である。

よって、|| T(2−1εx/|| x ||) ||≦N である。

つまり、|| Tx ||≦(2N/ε)|| x || である。

よって、|| T ||≦2N/εである。

D6

V をバナッハ空間とする。

W をノルム空間とする。

(Tn∈⊂B(V、W) を作用素の列とする。

任意の x∈V に対し、limn→∞x が存在するとする。(★)

T:V→W を Tx=limn→∞x で定める。

このとき、次が成り立つ。

(1) || T || は有界数列である。

(2) T∈B(V、W)

(3) || T ||≦liminfn→∞|| T ||

証明

仮定(★)より、任意の x∈V に対して supn∈|| Tx ||<∞ である。

よって、supn∈|| T ||<∞ である。(※D5)

つまり、|| T || は有界数列である。

は線形であるから、T も線形である。

また、任意の x∈V に対し、|| Tx ||=limn→∞|| Tx ||≦liminfn→∞|| T |||| x || である。

つまり、T は有界である。

D7 ( バナッハ・シュタインハウスの定理 )

V、W をバナッハ空間とする。

を V の稠密部分集合とする。

(Tn∈⊂B(V、W) を作用素の列とする。

任意の x∈V に対し、supn∈|| Tx ||<∞ であるとする。

任意の x∈V に対し、limn→∞x が存在するとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意の x∈V に対し、limn→∞x が存在するとする。

ここで、T:V→W を Tx=limn→∞x で定める。

このとき、次が成り立つ。

(2) T∈B(V、W)

(3) || T ||≦liminfn→∞|| T ||

証明

いま、c=supn∈|| T ||<∞ である。(※D5:一様有界性定理)

c>0 としてよい。

x∈V とおく。

いま、V は V において稠密である。

よって、任意の ε>0 に対し、ある y∈V が存在して || x−y ||<ε/(3α) となる。

いま、Ty は収束列である。

つまり、Ty はコーシー列である。

よって、ある N∈ が存在して、m、n≧N ⇒ || Ty−Ty ||<ε/3 となる。

以上により、



つまり、(Tx)n∈ は W におけるコーシー列である。

よって、limn→∞x は存在する。(※Wは完備)

よって、定理が成り立つ。(※D6)