ベールの定理

サイトのTOP→理系インデックス
関数解析学のTOP→関数解析インデックス




注意

T を作用素とする。

T は逆作用素 T−1 をもつとする。

このとき、明らかに、次が成り立つ。

(1) D(T−1)=R(T)⊂V

(2) R(T−1)=D(T)⊂V

D1

V、W をベクトル空間とする。

T:V→W を作用素とする。

このとき、次は同値である。

(1) T−1 は存在する。

(2) 任意の x∈D(T) に対し、Tx=0 ⇒ x=0 である。

証明

明らかである。

D2

V、W をノルム空間とする。

T:V→W を作用素とする。

このとき、次は同値である。

(1) 有界な逆作用素 T−1 は存在する。

(2) ある c>0 が存在して、|| Tx ||≧c|| x || ( x∈D(T) ) となる。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある a>0 が存在して、|| T−1y ||≦a|| y || ( y∈R(T) ) である。

−1y=x、1/a=c とおく。

いま、c|| x ||≦|| Tx || である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

Tx=y、1/c=a とおく。

いま、|| T−1y ||≦a|| y || ( y∈R(T) ) である。

つまり、T−1 は有界である。

D3 ( ベールの定理〜その1 )

(X、d)を完備距離空間とする。

(Un∈ を X において稠密な開集合の列とする。

このとき、∩1≦k≦∞ は X において稠密である。

補足

これは 『 ベールのカテゴリ定理 』 と呼ばれることもある。

証明

1≦k≦∞ は X において稠密でないと仮定する。(背理法)

つまり、A=X−1≦k≦∞≠φであるとする。

いま、A∩U≠φである。(※Uは稠密)

そこで、x∈A∩U とおく。

いま、ある開球 S(x、ε) が存在して、次を満たす。

(*1) (x、ε)⊂A∩U (ε<1)

いま、S(x、ε)∩U≠φである。(※Uは稠密)

そこで、x∈S(x、ε)∩U とおく。

いま、ある開球 S(x、ε) が存在して、次を満たす。

(*2) (x、ε)⊂S(x、ε)∩U (ε<1/2)

上記の操作を繰り返すと、

(*3) (xm+1、εm+1)⊂S(x、ε)∩Um+1 (εm+1<1/m)

よって、d(xm+1、x)≦ε<1/m である。

よって、(xn∈ はコーシー列である。

よって、limn→∞ が存在する。(※Xの完備性)

そこで、x=limn→∞ とおく。

いま、m≧p ⇒ x∈S(x、ε) である。

よって、x∈(x、ε) である。

また、(x、ε)⊂U である。

よって、x∈∩1≦k≦∞ である。

一方、x∈X−1≦k≦∞ である。

これは矛盾である。

D4 ( ベールの定理〜その2 )

(X、d)を完備距離空間とする。

(Fn∈ を X の閉集合列とする。

X=∪1≦k≦∞ であるとする。

このとき、ある n∈ に対して F は内点をもつ。

補足

「 内点をもつ 」 は、その点が十分多く存在することを意味する。

よって、ある性質をもつ点が十分多く存在することを示すときにベールの定理は有用である。

補足

以下の証明では 「 A の内部 」 を IntA と表し、「 A の閉包 」 を Cl(A) と表す。

証明

任意の n∈ に対して F は内点をもたないとする。(背理法)

つまり、いま、Int(F)=φである。

よって、X=(Int(F))=Cl((F) である。

つまり、(F は X において稠密である。

一方、仮定より、X=∪1≦k≦∞ である。

よって、∩1≦k≦∞=φ である。

これは矛盾である。