分離定理、超平面〜局所凸線形位相空間ver

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注意

このページでは 『 分離定理 』 を証明する。

分離定理の証明では 『 サポート関数 』 を用いる。

サポート関数は 『 ミンコフスキの汎関数 』 と呼ばれることもある。

E29 ( 分離定理〜その1 )

X を K 上の局所凸線形位相空間とする。

A を、原点を含む凸閉集合とする。

∈X−A とおく。

このとき、連続な線形汎関数 f が存在して、次を満たす。

(1) K= の場合 : f(x)>1、f(x)≦1 on A

(2) K= の場合 : Ref(x)>1、Ref(x)≦1 on A

補足

ちなみに、(1)の{ x∈X|f(x)=1 } や、(2)の { x∈X|Ref(x)=1 } を 『 超平面 』 という。

(1)の証明

いま、原点の近傍 V が存在して、(x+V)∩A=φ となる。

また、原点の円形凸近傍 W が存在して、W+W⊂V となる。

よって、(x+W+W)∩A=φ である。

よって、(x+W)∩(A−W)=φ である。

いま、W=−W である。(※定義:円形集合)

よって、(x+W)∩(A+W)=φ である。(★1)

いま、A+W は 凸 である。

また、W⊂A+W である。(※0∈A)

よって、A+W は吸収的である。(※A+Wは原点の近傍)

そこで、p:A+W→[0、∞) をサポート関数とする。

いま、p は X 上の非負劣加法的汎関数である。(※E17)

また、{ p<1 }⊂A+W⊂{ p≦1 } である。(※E17)(★2)

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いま、αx→x (α→1、0<α<1) on A である。

よって、ある 0<α<1 に対して α∈x+W である。

よって、(★1)より、α∈X−(A+W) である。

よって、(★2)より、p(α)≧1 である。

よって、p(x)≧1/α>1 である。

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B={ αx|α∈ } とおく。

:B→ を f(αx)=αp(x) で定める。

いま、f は線形汎関数である。

また、α≧0 ならば、f(αx)=αp(x)=p(αx) である。

また、α<0 ならば、f(αx)<0≦p(αx) である。

よって、f(x)≦p(x) on B である。

よって、線形汎関数 f:X→ が存在して、次を満たす。(※ハーン・バナッハの定理〜実数ver)

(*1) f(x)=f(x) on B

(*2) f(x)≦p(x) on X

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いま、f(x)=f(x)=p(x)>1 である。

また、x∈A+W ならば、f(x)≦p(x)≦1 である。

また、x∈−(A+W) ならば、f(x)≧−1 である。

よって、x∈U=(A+W)∩(−(A+W))ならば、|f(x)|≦1 である。

いま、A+W は原点の近傍である。

よって、U の定数倍も原点の近傍である。

いま、任意の ε>0 に対し、x∈εU ならば|f(x)|≦ε となる。

つまり、f は原点で連続である。

よって、f は X 上で連続である。(※E22)

いま、A⊂A+W である。

よって、f(x)≦1 on A である。

(2)の証明

係数体 に制限し、X を 上のベクトル空間と見なす。

上の(1)より、連続な実線形汎関数 g が存在して、次を満たす。

(*1) g(x)>1

(*2) g(x)≦1 on A

そこで、f:X→ を f(x)=g(x)−ig(ix) で定める。

いま、f は連続な線形汎関数である。

また、Ref(x)=g(x) である。

つまり、

(*3) Ref()>1

(*4) Ref(x)≦1 on A

E30 ( 分離定理〜その2 )

X を K 上の局所凸線形位相空間とする。

A を X の円形凸閉集合とする。

∈X−A とおく。

このとき、連続な線形汎関数 f:X→K が存在して、次を満たす。

(*1) f(x)>1

(*2) |f(x)|≦1 on A

証明

K= の場合について示せば十分である。

いま、連続な線形汎関数 f:X→ が存在して、次を満たす。(※分離定理〜その1)

θ を、f(x)の偏角とする。

f:X→ を f(x)=e−iθ(x) で定める。

いま、f は連続な線形汎関数である。

また、f(x)=e−iθ(x)=|f(x)|≧Ref(x)>1 である。(★1)

θ(x) を、f(x) の偏角とする。

いま、e−iθ(x)x∈A である。(※Aは円形)

よって、|f(x)|=|e−iθ(x)|=|f(x)|=e−iθ(x)(x)=f(e−iθ(x)x)=Ref(e−iθ(x)x)≦1 である。

定義 ( 共役空間 )

X を K 上の線形位相空間とする。

X 上の K 値連続線形汎関数全体を X と表す。

このとき、X を 『 X の共役空間 』 という。

E31

X を分離的な局所凸線形位相空間とする。

このとき、共役空間 X は、自明でない ( 0 でない ) 元を十分多くもつ。

補足

明らかに、ノルム空間は分離的な局所凸線形位相空間である。

つまり、ノルム空間の共役空間は自明でない元を十分多くもつ。

証明

∈X ( x≠0 ) とおく。

いま、原点の円形凸閉近傍 V が存在して、x∈X−V となる。

よって、ある f∈X が存在して、次を満たす。(※分離定理)

(*1) f(x)>1

(*2) |f(x)|≦1 on V