エゴロフの定理

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P1 ( エゴロフの定理 )

:E→ を可測関数列とする。( 終域は [−∞、∞] ではなくて であることに注意 )

は f に各点収束するとする。

μ(E)<∞ とする。( つまり、E は有限可測集合である )

このとき、任意の ε>0 に対し、ある可測集合 H⊂E が存在して、次を満たす。

(1) μ(E−H)<ε

(2) H 上で f は f に一様収束する。

補足

つまり、有限可測集合上での有限可測関数列の各点収束は、定義域を制限することで一様収束となる。

証明

p∈ とおく。

(p)=∩n≦k≦∞{ x∈E:|f(x)−f(x)|<1/2 } とおく。

いま、E(p) は可測集合の単調増加列である。

また、∪1≦n≦∞(p)=E である。(※定理の仮定)

よって、μ(E)=limn→∞μ(E(p))である。

よって、limn→∞μ(E−E(p))=0 である。(※定理の仮定)

よって、n(p) を十分大とすると、μ(E−En(p)(p))<ε/2 である。

ここで、H=∩1≦p≦∞n(p)(p) とおく。

いま、E−H=∪1≦p≦∞(E−En(p)(p)) である。

よって、μ(E−H)≦1≦p≦∞(E−En(p)(p))<ε である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

η>0 とおく。

p を十分大とすると、1/2<η である。

いま、H⊂En(p)(p) である。

よって、任意の x∈H に対し、n≧n(p)⇒|f(x)−f(x)|<1/2<η である。

つまり、H 上で f は f に一様収束する。(★2)

(★1)、(★2)より、定理が示された。