カラテオドリ外測度

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定義 ( カラテオドリ外測度 )

Γ:2→[0、∞] を関数とする。

次が成り立つとする。

(1) Γ(φ)=0

(2) A⊂B ⇒ Γ(A)≦Γ(B)

(3) Γ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞Γ(A

このとき、Γ を 『 外測度 』 という。

外測度を 『 カラテオドリの外測度 』 と呼ぶことも多い。

条件(2)は 『 単調性 』 と呼ばれる。

条件(3)は 『 可算劣加法性 』 と呼ばれる。

むろん、可算劣加法性から有限加法性が導かれる。

実際、A=A、A=B、A=φ、A=φ、・・・とおくと、次が成り立つ。

(*) Γ(A+B)=Γ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞Γ(A)=Γ(A)+Γ(B)

参考

つまり、外測度とは、単調性と可算劣加法性を仮定した関数である。

既に示したように、次が成り立つ。

(*) ジョルダン測度から誘導される外測度は、単調性と可算劣加法性をもつ。

つまり、ジョルダン測度から誘導される外測度は(カラテオドリの意味で)外測度である。

これについては後のページで定理として改めて書く。

以下、まずはカラテオドリ外測度の性質を示していこう。

むろん、これらの性質は 『 ジョルダン測度から導かれる外測度 』 にも適用できる。

定義 ( Γ可測 )

Γ:2→[0、∞] を関数とする。

A を X の部分集合とする。

任意の B∈2 に対し、次が成り立つとする。

(*) Γ(B)=Γ(B∩A)+Γ(B−A)

このとき、「 A はΓ可測である 」 という。

Γ可測全体を (Γ)と表す。

つまり、(Γ)={ A∈2|A はΓ可測 } である。

Z12 ( Γ可測に対する同値条件 )

Γ:2→[0、∞] を外測度とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A∈(Γ)

(2) 任意の B∈2 に対し、Γ(B)≧Γ(B∩A)+Γ(B−A)である。

補足

つまり、最初から条件(2)をΓ可測の定義として採用してもよい。

証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

いま、Γ(B)≦Γ(B∩A)+Γ(B−A)である。(※定義:外測度)

よって、Γ(B)=Γ(B∩A)+Γ(B−A)である。

Z13 ( 補題 )

Γ:2→[0、∞] を外測度とする。

A∈(Γ)、B⊂A、B∩A=φとする。

このとき、Γ(B+B)=Γ(B)+Γ(B) である。

証明

明らかである。

Z14 ( 補題 )

を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。

(*1) φ∈

(*2) A∈ ⇒ A

(*3) A、B∈ ⇒ A∪B∈

(*4) A が互いに素である ⇒ 1≦n≦∞

このとき、 は X 上のσ加法族である。

証明

定義(σ加法族)の条件(1)と(2)が成り立つことは明らかである。

とおく。

=A−An−1 とおく。

ただし、A=φとする。

いま、B は互いに素である。

仮定(*3)より、A1≦k≦n である。

仮定(*4)より、∪1≦n≦∞1≦k≦∞ である。

つまり、定義(σ加法族)の条件(3)が成り立つ。

Z15 ( 外測度はM(Γ)上で測度である )

Γ:2→[0、∞] を外測度とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (Γ)はσ加法族である。

(2) Γ は (Γ)上で測度である。

補足

この定理は、後で登場する 『 ホップの拡張定理 』 の一部である。

(1)の証明

B∈2 とおく。

いま、Γ(B∩φ)+Γ(B−φ)=Γ(φ)+Γ(B)=Γ(B)である。

よって、φ∈(Γ)である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A∈(Γ)とおく。

いま、Γ(B∩A)+Γ(B−A)=Γ(B−A)+Γ(B∩A)=Γ(B)である。

よって、A(Γ)である。

以上により、A∈(Γ)⇒A(Γ)である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

、A(Γ)とおく。

いま、



よって、A∪A(Γ)である。

以上により、A、A(Γ)⇒A∪A(Γ)である。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(Γ) とおく。

は互いに素であるとする。

いま、Γ(B∩1≦k≦n)=Γ(B∩A)+Γ(B∩1≦k≦n)=1≦k≦nΓ(B∩A) である。(※Z13)

よって、次が成り立つ。(※外測度)

(*1) 1≦k≦nΓ(B∩A)=Γ(B∩1≦k≦n)≦Γ(B∩1≦k≦∞)≦1≦k≦∞Γ(B∩A

上式の両端、1つ目の等号の右辺に注目すると、

(*2) supn∈Γ(B∩1≦k≦n)=1≦k≦∞Γ(B∩A)=Γ(B∩1≦k≦∞

いま、(★3)より、1≦k≦n(Γ)であるから、

(*3) Γ(B∩1≦k≦n)+Γ(B−1≦k≦∞)≦Γ(B∩1≦k≦n)+Γ(B−1≦k≦n)=Γ(B)

よって、(*2)より、

(*4) Γ(B∩1≦k≦∞)+Γ(B−1≦k≦∞)≦Γ(B)

つまり、1≦k≦∞(Γ)である。

以上により、A(Γ) ⇒ 1≦n≦∞(Γ) である。(★4)

(★1)〜(★4)より、(Γ) はσ加法族である。(※Z14)

(2)の証明

(1)証明中の(*2)を改めてここに書く。

(*2) 1≦k≦∞Γ(B∩A)=Γ(B∩1≦k≦∞

B=X とすれば、これはσ加法性を意味する。

よって、Γは (Γ)上で測度である。