ジョルダン測度によって誘導される外測度

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定義 ( ジョルダン測度によって誘導される外測度 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Θ は半加法族であるとする。

次のように定義する。



このとき、Γ(m、・)を 『 m によって誘導される外測度 』 という。

は X の巾集合を意味する。

つまり、Γ(m、A)は、A の可算無限 Θ 被覆全体の下限である。

infφ=∞ と規約しておけば、可算 Θ 被覆が存在しない場合、Γ(m、A)=∞ である。

Z10 ( 単調性、可算劣加法性 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Θ は半加法族であるとする。

Γ(m、・):2→[0、∞] を m によって誘導される外測度とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Γ(m、φ)=0

(2) A⊂B ⇒ Γ(m、A)≦Γ(m、B)

(3) Γ(m、∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞Γ(m、A

(4) 「 C、・・・、CΘ かつ A⊂∪1≦k≦n 」 ⇒ Γ(m、A)≦1≦k≦nm(C

(5) A∈Θ ⇒ Γ(m、A)≦m(A)

補足

(2)は単調性であり、(3)は可算劣加法性である。

とくに、(2)と(3)の証明において、ジョルダン測度は本質的ではないことに注意。

(1)の証明

=φ ( n∈ ) とおく。

いま、C はφの Θ 被覆である。

また、m(φ)=0 である。

よって、Γ(m、φ)=0 である。

(2)の証明

明らかである。

また、これはジョルダン測度の非負性のみに依存している。

つまり、この証明において、m がジョルダン測度であることは本質ではない。

(3)の証明

1≦n≦∞Γ(m、A)=∞ の場合は明らかである。

1≦n≦∞Γ(m、A)<∞ の場合について考える。

ε>0 とおく。

いま、任意の n∈ に対し、Γ(m、A)<∞ である。

よって、A の可算 Θ 被覆 Cnk が存在して、

(*1) 1≦k≦∞m(Cnk)≦Γ(m、A)+ε/2

また、次が成り立つ。

(*2) ∪1≦n≦∞⊂∪1≦n≦∞1≦k≦∞nk

(*3) 1≦n≦∞1≦k≦∞m(Cnk)≦1≦n≦∞Γ(m、A)+ε

よく知られているように、× は可算集合である。(※集合論)

つまり、Cnk は ∪1≦n≦∞ の可算 Θ 被覆である。

よって、Γ(m、∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞Γ(m、A)+εである。

よって、Γ(m、∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞Γ(m、A)である。

また、この証明において、m がジョルダン測度であることは本質ではないことに注意。

(4)の証明

=φ (k≧n+1) とおく。

いま、C ( n∈ ) は A の可算 Θ 被覆である。

よって、Γ(m、A)≦1≦n≦∞m(C)である。

また、m(C)=0 ( k≧n+1 ) である。

よって、Γ(m、A)≦1≦k≦nm(C)である。

(5)の証明

(4)より明らかである。