零集合、完備測度、ホップの拡張定理

サイトのTOP→理系インデックス
ルベーグ積分のTOP→ルベーグ積分インデックス




参考

このページでは、ホップの拡張定理を証明する。

ホップの拡張定理は、ここまでの内容の集大成である。

Z16

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Γ(m、・):2→[0、∞] を m によって誘導される外測度とする。

このとき、Γ(m、・)は外測度である。

証明

既に示した。(※Z10、定義:外測度)

定義 ( 零集合 )

Γ(A)=0 であるとき、A を 『 Γ零集合 』 という。

測度μの場合は 『 μ零集合 』 という。

定義 ( 完備測度 )

μ:→[0、∞] を測度とする。

μ零集合がすべて に属するとする。

このとき、μを 『 完備測度 』 という。

あるいは、「 はμに関して完備である 」 という。

Z17

Γ:2→[0、∞] を外測度とする。

(Γ)をΓ零集合全体とする。

(Γ)をΓ可測集合全体とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (Γ)⊂(Γ)

(2) B⊂∪1≦n≦∞ ( A(Γ)) ⇒ B∈(Γ)

補足

むろん、条件(1)は次のように表せる。

(*) Γ(A)=0 ⇒ A∈(Γ)

(1)の証明

Γ(A)=0 と仮定する。

いま、任意の E∈2 に対し、Γ(E∩A)+Γ(E−A)≦Γ(A)+Γ(E)=Γ(E)である。

よって、A∈(E)である。(※Z12)

(2)の証明

いま、0≦Γ(B)≦Γ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞Γ(A)=0 である。(※定義:外測度)

つまり、Γ(B)=0 である。

Z18

Γ:2→[0、∞] を外測度とする。

Γの (Γ)上への制限は完備測度である。

証明

明らかである。(※Z17、Z15)

定義 ( m 可測集合 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Γ(m、・):2→[0、∞] を m によって誘導される外測度とする。

いま、Γ(m、・)は外測度である。(※Z16)

Γ(m、・)可測集合を 『 m 可測集合 』 という。

Γ(m、・)零集合を 『 m 零集合 』 という。

(m)=(Γ(m、・))と定義する。

(m)=(Γ(m、・))と定義する。

=Γ(m、・)|(m) と定義する。

つまり、m は、Γ(m、・)の (m)上への制限である。

Z19

(m)→[0、∞] は完備測度である。

証明

明らかである。(※Z18、Z16)

Z20 ( 補題 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Θ は半加法族であるとする。

A∈2 とおく。

このとき、次は同値である。

補足

B が可算被覆 C をもたない場合、(2)の不等号が成り立つことは明らかである。

実際、この場合、Γ(m、B)=+∞ である。(※定義(ジョルダン測度によって誘導される外測度)の補足)

証明

条件(2)は次を意味する。(定義:ジョルダン測度によって誘導される外測度)

(*) 任意の B∈2 に対し、Γ(m、B∩A)+Γ(m、B−A)≦Γ(m、B)である。

よって、成り立つ。(※Z12)

Z21 ( 補題 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Θ は半加法族であるとする。

A、B∈Θ とおく。

B⊂A とする。

このとき、m(B)+Γ(m、A−B)≦m(A)である。

証明

いま、A−B の有限 Θ 分割 Δ が存在する。(※定義:半加法族)

よって、次が成り立つ。(※定義:ジョルダン測度によって誘導される外測度、定義:ジョルダン測度)

(*) m(B)+Γ(m、A−B)≦m(B)+I∈Δm(I)=m(A)

Z22 ( 補題 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Θ は半加法族であるとする。

このとき、Θ(m)である。

証明

B∈2 とおく。

を B の可算 Θ 被覆とする。

いま、C∩A は B∩A の可算 Θ 被覆である。

よって、次が成り立つ。(※Z20)

(*1) Γ(m、B∩A)≦1≦n≦∞m(C∩A)

一方、次が成り立つ。(※定義:外測度)

(*2) Γ(m、B−A)≦Γ(m、∪1≦n≦∞(C−A))≦1≦n≦∞Γ(m、C−A)

一方、C−A=C−(C∩A)である。

よって、次が成り立つ。(※Z21)

(*3) m(C∩A)+Γ(m、C−A)≦m(C

よって、(*1)〜(*3)より、

(*4) Γ(m、B∩A)+Γ(m、B−A)≦1≦n≦∞m(C

よって、A∈(m)である。(※Z20)

Z23 ( ホップの拡張定理 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Θ は半加法族であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) m はσ加法性をもつ。

(2) m は m の拡張である。

補足

既に定義したように、m はΓ(m、・)の (m)上への制限である。

証明

(1)⇒(2)は明らかである。(※Z22、Z11(1)⇔(3))

(2)⇒(1)は既に示した。(※Z15またはZ19)